Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1，BE=ED，求BD的长．
注意是ED不是DO！！！
注意是ED不是EO！！！

Answer 1

（1）证明：连结OD
因为C、D两点均在⊙O上 所以∠ODC=∠DCB 所以∠DOB=2∠DCB （1）
因为 ∠A=2∠DCB 所以 ∠DOB=∠A （2）
因为∠ACB=90° 所以 ∠ODB=90° 因此可以肯定AB是⊙O的切线 （3）
（2）解：过点O作CD的垂线交CD于点F，连结DE
由（1）结论及已知条件得：
RT△CED ∽RT△OCF 所以DE/OF=CE/OC （4）
因为CE=2OC 所以根据已知条件得 DE=BE=2 （5）
又因为DE=BE 所以 ∠B =∠EDB 因而∠DOC=4∠B （6）
因为∠ACB=90° =∠ODB 所以∠A=180°-4∠B
所以在△ABC中有 ∠A+∠B=180°-3∠B=∠C=90° 因而∠B=30° （7）
所以BD=sqrt（3）*BE=2sqrt（3）【也就是2根号3】 （8）