Question

已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+a)/(2^(x+1)+2)是奇函数。

已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+a)/(2^(x+1)+2)是奇函数。（1）求a的值（2）证明：函数f(x)在R上时减函数（3）若对任意的t=R ,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立，求k的取值范围

Answer 1

(1)因为定义域为R，所以在0上有定义域
f(0)=0 f(0)=(-2^0+a)/（2^1+2)=0
a=1

(3)f(x)=(1/2)[(1－2^x)/(1＋2^x)]=(1/2){－1＋[2/(1＋2^x)]}
可以证明函数f(x)是递减的
因为f(x²－2t)＋f(2t²－k)<0可以化为f(x²－2t)<－f(2t²－k)
(用奇函数，得出－f(2t²－k)=f(k－2t²)
则f(x²－2t)<f(k－2t²) (用单调性）
x²－2t>k－2t²
x²>k－2t²＋2t
因为x²≥0，要使得上式恒成立，
则k－2t²＋2t<0，
即2t²－2t－k>0对任意实数t恒成立，
则其判别式(－2)²－4×2×(－k)<0，得：k<－1/2