Question

已知函数f(x)=2cos^2x+2√3sinxcosx+1 求当x∈【0,π】时，

已知函数f(x)=2cos^2x+2√3sinxcosx+1
求当x∈【0,π】时，f（x）=a有两个相异实根，求实数a的取值范围及方程两根之和

Answer 1

f(x)=2cos^2x+2√3sinxcosx+1
=1+cos2x+√3sin2x+1
=2+2(1/2cos2x+√3/2sin2x)
=2+2sin(P/6+2x) ,P是圆周率
若想f(x)=f(x')
因为x∈【0,π】，所以0<=x+x'<=2P
而当且仅当P/6+2x+P/6+2x'=P+2KP，即x+x'=P/3+KP时，（K为整数）
才有f(x)=f(x')。
所以，K只能取0和1.
即当且仅当x+x'=P/3或x+x'=4P/3时，才有f(x)=f(x')。
即两根之和为P/3或4P/3。
又题意要求两根不同，所以x!=x',即x!=P/6或2P/3，从而a取不到最大最小值。
又当x=0,P/3,P时，有3个根f(x)=3（考虑端点），
所以a的取值范围为（0,3）并上(3,4)。