Question

设向量a1=(2,4,0,2),a2=(2,7,1,3),a3=(0,1,-1,a),b=(3,10,b,4)

1.当a,b取何值时，b不能由a1,a2,a3线性表示
2.当a,b取何值时，b可由a1,a2,a3线性表示且表示唯一3.当a,b取何值时，b可由a1,a2,a3线性表示且表示不唯一

Answer 1

设a1x1+a2x2+a3x3+bx4=0,得线性方程组，它的系数行列式是
2 2 0 3
4 7 1 10
0 1 -1 b
2 3 a 4,
按第三行展开行列式，得
- |2 0 3|
|4 1 10|
|2 a 4|
-|2 2 3 |
|4 7 10|
|2 3 4|
-b|2 2 0|
|4 7 1|
|2 3 a|
=-[2(4-10a)+3(4a-2)]-[-4+8-6]-b[2(7a-3)-2(4a-2)]
=-(8-20a+12a-6)-(-2)-b[14a-6-8a+4]
=-2+8a+2-b(6a-2)
=8a+2b-6ab,
1.当4a+b-3ab≠0时方程组只有平凡解，a1,a2,a3,b线性无关，b不能由a1,a2,a3线性表示
2.左上角的3阶子式
|2 2 0|
|4 7 1|
|0 1 -1|
=-14-2+8=-8≠0，
∴a1,a2,a3线性无关，
∴当4a+b-3ab=0时方程组有非零解，a1,a2,a3,b线性相关，b可由a1,a2,a3线性表示且表示唯一.
3.不可能。