Question

已知函数f(x)=log以a为底(x+1),g(x)=log以a为底(x-1).其中(a大于零且a不等于1)(1)求f(x)+g(x)的定义域,

（2）判断求f(x)+g(x)的奇偶性，并说明理由。（3）f(x)-g(2x)大于0的集合

Answer 1

log(a)(N)：a表示底数，N表示真数

(1)解：
f(x)+g(x)=log(a)(x+1)+log(a)(x-1)=log(a)(x²-1)
要是函数f(x)，g(x)，f(x)+g(x)有意义，则：
x+1>0
x-1>0
x²-1>0
解得：x>1
则：f(x)+g(x)的定义域为(1,+∞)

(2)解：
设h(x)=f(x)+g(x)
则：h(x)=log(a)(x²-1)，其中x>1
由于其定义域为(1,+∞)
定义域关于原点不对称，那么函数h(x)为非奇非偶函数
即：函数f(x)+g(x)为非奇非偶函数

(3)解：由题意知：
f(x)-g(2x)=log(a)(x+1)-log(a)(2x-1)=log(a)[(x+1)/(2x-1)]
要是函数f(x)，g(2x)，f(x)-g(2x)有意义，则：
x+1>0
2x-1>0
[(x+1)/(2x-1)]>0
z解得：x>1/2 ①

又因为：
f(x)-g(2x)=log(a)[(x+1)/(2x-1)]>0
则：[(x+1)/(2x-1)]>1
解得：x<2 ②

综合①②得：1/2<x<2
即：f(x)-g(2x)>0的集合为：{x | 1/2<x<2}