Question

己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，

DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD

若圆o的半径为5，DE=4，求四边形ABCD的面积

Answer 1

解：连接OD交AC于G；则OD=OA=OB=½AB=5

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠CBD

∴弧DA＝弧DC

∴OD⊥AC即∠AGD＝∠AGO＝90°,AG=GC＝½AC；∠DAC＝∠DBA

∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB

∴∠ADB＝∠ACB＝∠AED＝∠BED＝∠90°

∴OE＝√﹙OD²－ED²﹚＝√﹙5²－4²﹚＝3，AE=OA－OE=5－3=2，BE=OB＋OE＝5＋3＝8

AD＝√﹙AE²＋DE²﹚＝√﹙2²＋4²﹚＝2√5

∵∠BDA＝∠AED＝∠AGD＝90°,∠DAG＝∠ABD＝90°－∠BAD＝∠ADE

∴△ABD∽△ADE∽△DAG

∴BD/DE=AD/AE，AD/DA=DE/AG=AE/DG

∴BD=DE·AD/AE=4×2√5/2＝4√5，AG=DE=4(AC=2AG=8)，DG=AE=2；

∵AG=GC,AO=OB

∴BC=2OG=2(OD－GD)=2×﹙5﹣2)=6

∴四边形ABCD的面积＝S△ACB＋S△ACD＝½AC·BC＋½AC·DG＝½×8×6＋½×8×2＝32 

Answer 2

四边形ABCD的面积等于△ABC+△BCD
在圆内，△ABC和△ABD为Rt△
又因为DE⊥AB
根据射影定理，
DE^2=AE*BE=16
AE+BE=10
所以解得AE=2，BE=8
又根据勾股定理得
BD=4√5，AD=2√5
又因为∠DAC=∠DBC=∠DBA
∠ADB=∠ADB
所以△ABD∽△FAD
所以AD/DB=DF/AD
所以DF=√5，则FB=3√5
同理可得FB/BC=AB/DB
所以BC=6
D在∠CBA的角平分线上，所以D到AB和BC的距离相等为4
所以
△BCD的面积为12
又△ABC的面积为20
所以四边形ABCD的面积等于32

Answer 3

解：
设四边形ABCD的面积为S1，三角形ABD的面积为S2，三角形BCD的面积为S3
则：S1=S2+S3

S2=AB*DE/2=10*4/2=20
下面只要求出三角形BCD的面积为S3就可以了

由正弦定理的推论可以知道：S3=BC*CD*BD/4R（R为△BCD的外接圆的半径）
所以：S3=BC*CD*BD/4R=BC*CD*BD/4*5=BC*CD*BD/20
下面只要求出BC，CD，BD就可以求出S3了

连接OD
在Rt△DOE中，DE=4，OD=5
则：OE=3
那么：AE=5-3=2
在Rt△ADE中，AE=2，DE=4
则：AD=2√5
在Rt△ADB中，AD=2√5，AB=10
则：BD=4√5 ①

因为：BD平分∠ABC
所以：∠CBD=∠DBA
根据圆周角定理的推论可知：在同圆或等圆中，圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等
所以：CD=AD=2√5 ②

同理：
根据圆周角定理的推论可知：在同圆或等圆中，圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等
则：∠CDB=∠CBA
且：∠CBD=∠FBA
所以：△CDB∽△FAB
则：CD/BD=AF/AB
即：2√5/4√5=AF/10
得：AF=5

在Rt△ADF中，AD=2√5，AF=5
则：DF=√5
所以：BF=BD-DF=4√5-√5=3√5

因为：AB为直径，
所以：∠ADB=90°
因为：DE⊥AB于E
所以：∠DEB=90°
所以：∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°
所以：∠ADE=∠ABD=∠CBF
即：∠CBF=∠ADE
cos∠CBF=cos∠ADE
BC/BF=DE/AD
BC/3√5=4/2√5
BC=6 ③

由①②③得：S3=BC*CD*BD/20=6*2√5*4√5/20=12

四边形ABCD的面积为S1=S2+S3=20+12=32