Question

求解一道高等数学题

请问第4题，
1.解答步骤里面的x^3是怎么算出来的？
2.请问从①到②的具体求导过程，我求出来多了一个-（cosx）/3x^2…
3.求问②中的1/2是直接在①中带入x=0的吗？此时为何不会违反极限变量趋向的同时性？
问题有点多，先谢谢各位耐心的解答

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Answer 1

1. x^3是“凑”出来的——看最后=-1/6前面的表达式，就是要“凑”出个sinx/x来，sinx/x在x→0时值为1的重要极限。“凑重要极限”是解难极限题的重要思想之一。

2. 洛贝达法则是分子分母分别求导，分子是1*cosx+x*(-sinnx)-cosx==-xsinx；分母求导是3x^2。把分母3x^2分解为3*x*x，其中一个x与分子-xsinx中的x约掉，再把1/3提出来就剩下-sinx/x，它是重要极限，但是-1。

3. 1/2是直接在①中带入x=0的。为上因为两个根号和分之一后面所乘的表达式仍然为0/0不定，表达了原式的不定形式。因为一个积的极限可以表达为两个或多个“存在的极限”之积，根号那一项的极限在①时已经存在了，就可以先算出来；就看后面的表达式极限是否存在。

追问

请问如何在一开始就知道是x^3而不是其他数？

追答

题目用ax^b已经提示我们了，那么b取几一开始只能估计，往后算着看；比如若取b为4，最后就发现结果是-1/8x，这极限还是出不来；但提示我们若取b为3分母的x就没有了，极限就能出来，那就取3再算。特殊极限、积分有时候连算法都是唯一的，换一种算法就得不到结果，所以这种事也算是常见的。

追问

好的，谢谢解答

Answer 2

Answer 3

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