Question

高数怎么做

题目
计算三重积分∫∫∫zdxdydz,其中V由x2+y2≤z≤1

Answer 1

令x=rcosα，y=rsinα，则r²≤z≤1，r≥0，α∈[0,2π]
原积分
=∫∫∫zrdzdrdα
=∫dα∫dr∫zrdz （第一个积分范围[0,2π]，第二个积分范围[0,1]，第三个积分范围[r²,1]）
(注：∫zrdz=rz²/2)
=∫dα∫(r-r^5)/2dr（第一个积分范围[0,2π]，第二个积分范围[0,1]）
(注：∫(r-r^5)/2dr=r²/4-(r^6)/12)
=∫1/6 dα（积分范围[0,2π]）
(注：∫1/6 dα=α/6)
=π/3

Answer 2

解：利用柱面坐标计算：
因为积分区域V可表示为
ρ²≤z≤1，0≤ρ≤1，0≤θ≤2π，
所以
ʃʃʃv zdxdydz
＝ʃʃʃv z·ρdρdθdz
＝ʃ[0,2π]dθʃ[0,1]ρdρʃ[ρ²,1]zdz
＝ʃ[0,2π]dθʃ[0,1]ρ(1-ρ⁴)/2 dρ
＝2π(ρ²/2-ρ⁶/6)/2 |[0,1]
＝π(1/2-1/6)＝π/3 .