关于用二重积分求椭圆面积问题
如图,椭圆面积应该是πab,我利用极坐标求椭圆面积。请问我的解法哪里有问题,说明一下原因。谢谢!...
如图,椭圆面积应该是πab,我利用极坐标求椭圆面积。请问我的解法哪里有问题,说明一下原因。谢谢!
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在角度t处一条射线上的点,坐标为rcost, r sint,在椭圆上的点满足(Rcost)^2/a^2 + (Rsint)^2/b^2=1。
也就是R^2[(cost)^2/a^2 +(sint)^2/b^2]=1。
R^2 = a^2b^2/((bcost)^2 +(asint)^2]。
R=ab/根号((bcost)^2 +(asint)^2]。
求面积时,内部积分从0积分到椭圆上,上面式子求出来的这个R就是内部积分的上限,你的积分上限错误。
二重积分
是二元函数在空间上的积分,同定积分类似,是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的(有向)曲面上进行积分,称为曲面积分。
东莞大凡
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在极坐标定义中r^2=x^2+y^2的前提是x=rcost,y=rsint,这样才有dxdy=rdrdt如果像你那样设dxdy就是-absintcostdt就是一重积分,显然不正确。其实你可以先令x1=x/a,y1=y/b,这样x1与y1的方程就是半径为1的圆,令x1=rcost,y1=rsint,这时r的积分区间就是0到1,t是从0到2π,然后再带代换过来就是x=arcost,y=brsint,dxdy等于ab(drcostdrsint)而drcostdrsint就等于rdrdt,带入dxdy就=abrdrdt,然后直接计算这个二重积分就行了。
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在角度t处一条射线上的点,坐标为rcost, r sint,在椭圆上的点满足(Rcost)^2/a^2 + (Rsint)^2/b^2=1
也就是R^2[(cost)^2/a^2 +(sint)^2/b^2]=1
R^2 = a^2b^2/((bcost)^2 +(asint)^2]
R=ab/根号((bcost)^2 +(asint)^2]
求面积时,内部积分从0积分到椭圆上,上面式子求出来的这个R就是内部积分的上限,你的积分上限错误
也就是R^2[(cost)^2/a^2 +(sint)^2/b^2]=1
R^2 = a^2b^2/((bcost)^2 +(asint)^2]
R=ab/根号((bcost)^2 +(asint)^2]
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勾股定理不对啊。。。
用三角形的勾股定理貌似也对吧。。。
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一楼讲的方法是对的,对于你的疑问你可以查一下椭圆的参数方程里面未知数的含义,椭圆参数方程里的角不是与x轴的夹角
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你用的参数方程,和极坐标方程有区别,所以积分的转换有问题
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