Question

关于用二重积分求椭圆面积问题

如图，椭圆面积应该是πab，我利用极坐标求椭圆面积。请问我的解法哪里有问题，说明一下原因。谢谢！

Answer 1

在角度t处一条射线上的点，坐标为rcost, r sint，在椭圆上的点满足(Rcost)^2/a^2 + (Rsint)^2/b^2=1。

也就是R^2[(cost)^2/a^2 +(sint)^2/b^2]=1。

R^2 = a^2b^2/((bcost)^2 +(asint)^2]。

R=ab/根号((bcost)^2 +(asint)^2]。

求面积时，内部积分从0积分到椭圆上，上面式子求出来的这个R就是内部积分的上限，你的积分上限错误。

二重积分

是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

Answer 2

在极坐标定义中r^2=x^2+y^2的前提是x＝rcost，y＝rsint，这样才有dxdy＝rdrdt如果像你那样设dxdy就是-absintcostdt就是一重积分，显然不正确。其实你可以先令x1＝x/a，y1＝y/b，这样x1与y1的方程就是半径为1的圆，令x1＝rcost，y1＝rsint，这时r的积分区间就是0到1，t是从0到2π，然后再带代换过来就是x＝arcost，y=brsint，dxdy等于ab（drcostdrsint）而drcostdrsint就等于rdrdt，带入dxdy就＝abrdrdt，然后直接计算这个二重积分就行了。

Answer 3

在角度t处一条射线上的点，坐标为rcost, r sint，在椭圆上的点满足(Rcost)^2/a^2 + (Rsint)^2/b^2=1
也就是R^2[(cost)^2/a^2 +(sint)^2/b^2]=1
R^2 = a^2b^2/((bcost)^2 +(asint)^2]
R=ab/根号((bcost)^2 +(asint)^2]
求面积时，内部积分从0积分到椭圆上，上面式子求出来的这个R就是内部积分的上限，你的积分上限错误

追问

勾股定理不对啊。。。

用三角形的勾股定理貌似也对吧。。。

追答

啥？这里和勾股定理有啥关系？

追问

emmm我是不懂啦

求距离嘛。。。

啊我会采纳你的答案的放心

Answer 4

一楼讲的方法是对的，对于你的疑问你可以查一下椭圆的参数方程里面未知数的含义，椭圆参数方程里的角不是与x轴的夹角

Answer 5

你用的参数方程，和极坐标方程有区别，所以积分的转换有问题