Question

泰勒公式本来说f(x)有n+1阶导数，就能展成最后一项为o[(x-x0)^n]。请问若f(x)只有n阶，能否也能

能否也能展成最后一项为o[(x-x0)^n]？为什么？

Answer 1

结论是可以。不过，如果f(x)只有n阶导数，那么余项只能写成o[(x-x0)ⁿ]，而不能写成拉格朗日余项了。这个教材里有介绍（同济大学第6版上册142页最下方的小字），具体证明就不需要掌握了。

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追问

其实我很想知道是如何证明的

追答

以前从没考虑过这个证明，刚才试着证了一下：
下面用f^(n-1)(x)表示f(x)的n-1阶导数

设f(x)在x=x0处具有n阶导数（因此f(x)在x0的邻域内具有n-1阶导数），P(x)为f(x)在x=x0处的n级泰勒多项式，下面证明：lim[x→x0] [f(x)-P(x)]/(x-x0)ⁿ=0

证明：由于f(x)在x0的邻域内具有n-1阶导数，则该极限可使用n-1次洛必达法则
分母：(x-x0)ⁿ求完n-1阶导数为：n!(x-x0)
分子：p(x)的n-1阶导数为：f^(n-1)(x0)+f^(n)(x0)(x-x0)
因此原极限化为：
lim[x→x0] [f^(n-1)(x)-f^(n-1)(x0)-f^(n)(x0)(x-x0)]/(x-x0)
=lim[x→x0] [f^(n-1)(x)-f^(n-1)(x0)]/(x-x0) - f^(n)(x0)
前面这个极限刚好是x=x0处的n阶导数定义
=f^(n)(x0) - f^(n)(x0)
=0
因此f(x)-P(x)是(x-x0)ⁿ的高阶无穷小。

请采纳。

Answer 2

这个好象是可以的。