Question

高等数学求不定积分？

如图所示

Answer 1

详细过程如图，希望能帮到你解决你心中的问题

希望过程清晰明白

Answer 2

Answer 3

ln[1+(1-x)^(1/2)/x^(1/2)]
=ln [x^(1/2) + (1-x)^(1/2)] - (lnx)/2
1) ∫lnxdx= xlnx - ∫xd(lnx)=xlnx - x + C1
2) 令x=(sint)^2, x^(1/2) =sint, (1-x)^(1/2) = cost, dx=2sintcostdt
∫n [x^(1/2) + (1-x)^(1/2)]dx= ∫(sint+cost)*2sintcostdt

= ∫[2(sint)^2*cost+2(cost)^2*sint]dt
= ∫2(cost)^2dcost - ∫[2(sint)^2dsint
=2/3*[(cost)^3 - (sint)^3] + C2
将t=arcsinx^(1/2)代回有：
cos(arcsinx^(1/2))=[1-(sin(arcsinx^(1/2)))^2]^(1/2)=(1-x)^(1/2)
sin(arcsin x^(1/2))=x^(1/2)
∫ln [x^(1/2) + (1-x)^(1/2)]dx＝2/3*[(1-x) ^(3/2) - x^(3/2)] + C2
所以原不定积分＝2/3*[(1-x) ^(3/2) - x^(3/2)] + (x - xlnx)/2 + C

Answer 4

令√(1-x)/√x＝t，则(1-x)/x＝t^2，(1+t^2)x＝1，即x＝1/(1+t^2). dx＝d[1/(1+t^2)]. 于是
原积分＝∫ln(1+t)d[1/(1+t^2)]
＝ln(1+t)/(1+t^2)-∫1/(1+t^2) * 1/(1+t) dt. ①
令
1/[(1+t^2)(1+t)]＝A/(1+t) +(Bt+C)/(1+t^2).
则有
1≡A(1+t^2)+(Bt+C)(1+t)，
即
1≡(A+B)t^2+(B+C)t+(A+C).
于是有 A+B＝0，B+C＝0，A+C＝1. 解之得
A＝1/2，B＝-1/2，C＝1/2.
故
1/[(1+t^2)(1+t)]＝1/2 /(1+t)-1/2 (t-1)/(1+t^2).
将上式代入①，得
原积分＝ln(1+t)/(1+t^2)+1/2 ∫1/(1+t) dt
-1/2 ∫(t-1)/(1+t^2) dt
＝ln(1+t)/(1+t^2)+1/2 ln|1+t|-1/4 ∫1/(1+t^2) d(1+t^2)+1/2 ∫1/(1+t^2) dt
＝ln(1+t)/(1+t^2)+1/2 ln|1+t|-1/4 ln(1+t^2)
+1/2 arctant+C. 其中t＝√(1-x)/√x.
这就是最终结果。