Question

高数，二重积分？

如图，为什么二重积分是∫∫(6-2x²-y²)-(x²+2y²)dσ而不是∫∫(x²+2y²)-(6-2x²-y²)dσ？积分内部相减代表什么

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Answer 1

这是我的理解：
二重积分和二次积分的区别
二重积分是有关面积的积分，二次积分是两次单变量积分。
①当f(x,y)在有界闭区域内连续，那么二重积分和二次积分相等。对开区域或无界区域这关系不衡成立。
②可二次积分不一定能二重积分。如对[0,1]*[0,1]区域，对任意x∈[0,1]可定义一个对y连续的函数g(x,y)（y∈[0,1])∫g(x,y)dy=1.那么∫dx∫g(x,y)dy有意义，一般地∫∫g(x,y)dσ没意义。
③可以二重积分不一定能二次积分。区域S={(x,y)|x>=1,|y|<=1/x^3}。恒等函数f(x,y)=1,(x,y)∈S。f在S上可以二重积分却不能二次积分（先对x再对y求积分，在y=0那条线上积分无穷）。
积分对调
上面③的例子中积分对调了一个可以积分，一个不可以积分（先对y积分x固定时积分得到2/x^3.2/x^3对x(x属于[1,无穷）可积分。
可对调x,y的情况是
连续且绝对可积，对x或y求分步积分存在。特殊情况函数在有界闭区域连续可对调x,y，这时由于连续性函数在闭区域存在极值。
积分变换一定要求变换后的积分区间与原来相同，且不能有重复积分的情况

Answer 2

你画一下积分域的草图， 就知道应该是 ∫∫<D>[(6-2x²-y²)-(x²+2y²)]dσ.
因为由抛物面 z = x^2+2y^2 和抛物面 z = 6-2x^2-y^2 围成的立体是 ：
z = 6-2x^2-y^2 在上，而 z = x^2+2y^2 在下。
求体积积分 ： 上 - 下， 前 - 后， 右 - 左

追问

三维的图该怎么画不太懂麻烦你了

追答

去看一下教科书 向量与空间解析几何 一章 二次曲面 一节。
抛物面 z = 6-2x^2-y^2 开口向下， 像一个扣着的锅， 最高点 z = 6；
抛物面 z = z = x^2+2y^2 开口向上， 像一个正常放置的锅， 最低点 z = 0，
所围立体就是两个锅夹在一起的部分。

追问

好的谢谢