Question

关于分段函数，变限积分，不定积分，原函数的问题

关于分段函数，变限积分，不定积分，原函数的问题我这里整理了一下自己的思路。有如下结论:一个分段函数f(x)，存在跳跃间断点，即在区间内不连续也不可导。
对其进行积分，可以变成一个变限积分，记为g(x)，这个变限积分存在尖点，也就是f(x)的跳跃间断点，所以g(x)在其区间内连续，但是在其尖点处不可导。并且可以写成f(x)的不定积分等于g(x)加上常数。
此时再对g(x)求积分，可以得到一个G(x)，此G(x)是g(x)的原函数，区间上处处连续且可导。而且g(x)的不定积分可以写成G(x)加常数。
拥有震荡间断点的函数可以看成是一个变限积分。拥有震荡间断点的函数在某一点是不可导的，没有定义的，例如xsin(1/x)。
请仔细帮我看一下，看看有没有理论上的错误，有的话请指出，万分感谢！

Answer 1

你总结的真不错，我看出的两个小问题：
一个是第二段最后“f(x)的不定积分等于g(x)加上常数”，f(x)没有原函数我感觉你也知道，有第一类间断点的函数都没有原函数，但同样也根本不存在不定积分。
还有就是最后振荡间断点那里，在间断点不可导是肯定的，但不一定没有定义。
你举的例子xsin1/x是可去间断点，虽然它在0附近振荡，但它趋于0的极限存在，左右都是0，如果补充定义x=0它就是在0处连续的。
f(x)=sin1/x有振荡间断点x=0，可以在0处补充定义f(0)=0，但仍是振荡间断点。

追问

谢谢你，你说的第一个问题我明白了，确实是。但是第二个问题，如果补充在震荡间断点处f(0)=0，那么在零这个点左右导数的极限等于此点的函数值，这样根据连续的定义，x=0这个点不就连续了吗？这样不就不符合间断函数的性质了嘛？

追答

振荡间断点是至少有一侧极限不存在的，极限不存在，和它在那个间断点处的值没有关系，即便补充定义还是极限还是不存在，还是间断点

追问

但是在xsin(1/x)中，在零这一点，左右极限都趋近于零，如果定义了f(0)=0，不就是在零处连续了吗

追答

对呀，所以它是可去间断点啊

你看看这两个函数的图像，便于理解

第一个那种是可去间断点，不是振荡间断点。第二个才是振荡间断点。

追问

明白了！谢谢你！

追答

不客气