Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC=12，BC=6，点D在BC上，点E在线段CD上，且角BEC=角ACB，BE延长线与AC交于F

Answer 1

（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵BEC=∠ACB，
∴∠BEC=∠ABC，
∴∠BDE+∠DBE=∠BEC=∠ABC=∠DBE+∠CBE，
∴∠BDE=∠CBE,，
∴△BCD∽△ECB，
∴BD/EB=CD/CB，
∴CD*BE=BD*BC

(2)若AD=X，AF=Y，则BD=12-X，CF=12-Y，
∵∠BDC=∠CBE，∠DBC=∠BCF，
∴△BCD∽△CFB，
∴BD/CB=BC/CF，
即(12-X)/6=6/(12-Y)，
整理得Y=12-36/(12-X),
定义域X∈[0，9]

（3）作FG⊥BC于G，AH⊥BC于H，则AH=3√15
当AD=3时，CF=4，
由△ACH∽△FCG得AH/FG=AC/FC=CH/CG=3，
∴FG=√15，CG=1，
∴BG=5，
由RT△BFG得BF=2√10

Answer 2

(1)
根据已知条件
AB=AC得，∠ABC=∠ACB=∠BEC
∵△BCD与△BCE中
∠DBC=∠BEC，共用∠BCE
∴△BCD∽△BCE
∴BE:BD=BC:CD
∴BExCD=BDxBC

(2)
根据（1）同理得出
△BEC∽△BCF
则△BCD∽△BCF
BC:FC=BD:BC
FCxBD=BCxBC
FC=12-Y
BD=12-X
(12-Y)(12-X)=36
FC≥0，BD≥0
求得，9≥X≥0，9≥Y≥0

(3)
正解中