Question

已知函数f(x)=ax方+bx+1(a,b∈R,a≠0,x∈R),F(x)={f(x),x>0 -f(x),x<0}

(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0，+∞），求F(x)的表达式
(2)在(1)的条件下，当x∈[-2,2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数K的取值范围
(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且函数f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)是否大于0

Answer 1

(1) y=ax^2+bx+1, f(-1)=a-b+1=0, 最小值=1-b^2/(4a)=0, 由此二式解得 a=1,b=2
f(x)=x^2+2x+1 F(x)={x^2+2x+1, x>0; -x^2-2x-1,x<0}

(2) g(x)={x^2+(2-k)x+1,0<x<=2; -x^2-(2+k)x-1, -2<=x<0}
第一段要成为单调函数，必须对称轴x1=(k-2)/2,不在(0,2]内
(k-2)/2<=0或(k-2)/2>=2, 得k<=2或k>=6 一
同理第二段的对称轴x2=-(k+2)/2,必须不在[-2,0)内
-(k+2)/2<=-2或-(k+2)/2>=0 得k>=2或k<=-2 二
由一二取交集 得k<=-2或k=2或k>=6

(3)f(x)为偶函数，则b=0, f(x)=ax^2+1
当x>0时, F(m)+F(n)= f(m)+f(n)=am^2+1+an^2+1=a(m^2+n^2)+2=a(m+n)^2-2amn+2
因为mn<0,a>0, so -2amn>0, so F(m)+F(n)>0
当x<0时,F(m)+F(n)=-am^2-an^2-2=-a(m+n)^2+2amn-2<0