Question

请教大家一个数学问题

如图：

……
是用棋子摆成的图案，摆一个图案需要7枚棋子，摆第二个图案需要19枚棋子，摆第三枚棋子需要37枚棋子，按照这样的方法摆下去，则摆第六个图案需要＿＿＿枚棋子，摆第n个图案需要＿＿＿枚棋子。
注：第二空要具体分析，把过程写出来。

Answer 1

解：
摆一个图案需要7枚棋子：7=1*6+1，摆第二个图案需要19枚棋子：19=3*6+1，摆第三个图案需要37枚棋子：37=6*6+1，按照这样的方法摆下去，则摆第六个图案需要＿21*6+1=127＿＿枚棋子，摆第n个图案需要n(n+1)/2 *6+1＿＿＿枚棋子。

各项中6的系数为：1=0+1，3=1+2，6=3+3，10=6+4，15=10+5，21=15+6…………
从第二项开始，每一项都等于它的前一项 与 项数 的和。
an=a(n-1) +n
an-a(n-1)=n
a(n-1)-a(n-2)=n-1
…………
a2-a1=2
等式两边累加
an-a1=2+...+n
an=a1+2+...+n=n(n+1)/2
所以第n个图案需要n(n+1)/2 *6+1枚棋子

Answer 2

首先，中间始终都是只有一枚棋子。
然后第一个图案是：1+6
第二个图案是：1+（1+2）*6
第三个图案是：1+（1+2+3）*6

……
第六个图案是：1+（1+2+3+4+5+6）*6=127（枚）

则第n个图案需要棋子为：1+（1+2+3+……+n）*6

Answer 3

设第n个图案需要an枚棋子
a1=7
a2=7+12=19
a3=19+18=37
……
（1）注意每后一图都在前一图上多围一圈，【6个边都有n-1枚棋子，但注意不要重复算】
∴a4=a3+(6×5-6)=37+24=61
a5=a4+(6×6-6)=61+30=91
a6=a5+(6×7-6)=91+36=127
（2）一般性：由每后一图都在前一图上多围一圈得递推公式：
an=a(n-1)+[6×(n+1)-6]
即： an=a(n-1)+6n (n≥2)
累加法算通项：
a2-a1=12
a3-a2=18
……
an-a(n-1)=6n
由上述n-1式相加得：
an-a1=12+18+……6n = 3(n+2)(n-1)
∴an=3(n+2)(n-1)+7
即： an=3n²+3n+1

Answer 4

解：由图可发现第n个图有（2n+1）行，中间行有（2n+1）枚棋子。由中间行向外递推每行减少一枚棋子且关于中间行对称.最外行有（n+1）枚棋子
则第n个图的棋子数Sn=（2n+1）+2(2n)+2（2n-1）+......+2(n+1)
由等差数列特性知：Sn=（2n+1+n+1）(n+1)/2+(2n+n+1)n/2=(3n+2)(n+1)/2+(3n+1)n/2
所以第六个图需127枚棋子。
第n个图案需(3n+2)(n+1)/2+(3n+1)n/2=（3n^2+3n+1）枚棋子

Answer 5

这是一个数列问题。1，7，19，37，

原式可化为 1+（1+2+3+4……+n-1）×6
把括号里那个化掉就是
1+6n*(n-1)/2
=1+3n*(n-1)
所要求的第六图，就是n=7时，则=1+3*7*6=127
所要求的第n图，就是n+1时，则=1+3n(n+1)