Question

关于1/x的原函数的疑问，它与原函数存在定理不矛盾吗

原函数存在定理为:
若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数。
设F'（x）=f(x)，f（x）在x=x0处不连续，则x0必为第二类间断点中的振荡间断点，而非第二类间断点中的无穷间断点或第一类间断点。
那1/x有无穷间断点x=0，它却存在原函数ln|x|，不知哪里理解错了，大家说说看
一个函数存在原函数，若它存在间断点，则只能是第二类点断点中的震荡间断点。可是1/x怎么解释

Answer 1

原函数存在定理可以概括为：连续函数必定存在原函数。对于f(x)=1/x，它在x不等于0的区间内连续，故存在原函数。
还有，此条件为充分条件，而非必要条件。即若f（x）存在原函数，不能推出f(x)在[a,b]上连续。比如，一个函数在某一区间上有有限个第一类间断点的话，那它是可以存在原函数的。也即是说，即使你证明了某一个函数不连续（无论是有哪种类型的间断点），也不能用原函数存在定理来说明它是否存在原函数。

Answer 2

用一个逻辑关系，充要性
“若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数”，是“P ＝＞ q"
1/x有断点不连续，是“¬P‘，
数学逻辑中
“P ＝＞ q"但不能得到"¬P ＝＞¬q"，也可看成是原命题与逆命题真假无关。
我们只能得到："¬q ＝＞¬p"，即：f(x)在[a,b]不存在原函数，则肯定f(x)在[a,b]上不连续。

希望能帮到这道题

Answer 3

那么ln绝对值x能在0处取到定义吗，不能，所以1╱x在0的临域内是无原函数的，你只能说1╱x在某一个不含有0的区间是lnx