Question

反常积分问题计算

-4∫(0 +∞)(y^2)×[e^(-4y)-e^(-2y)]dy=8∫(0 +∞)y[(-1/4)(e^- 4y)+(1/2)(e^-2y)]dy =-8∫(0 +∞)[(1/16)(e^-4y)-(1/4)(e^-2y)]dy=7/8请问这两步是怎么得到的？

Answer 1

用的是分部积分
-4∫[0→+∞] y²[e^(-4y)-e^(-2y)] dy
=-4∫[0→+∞] y²e^(-4y) dy + 4∫[0→+∞] y²e^(-2y) dy
=∫[0→+∞] y² de^(-4y) - 2∫[0→+∞] y² de^(-2y)
=y²e^(-4y) - 2∫[0→+∞] ye^(-4y) dy - 2y²e^(-2y) + 4∫[0→+∞] ye^(-2y)dy |[0→+∞]
=-2∫[0→+∞] ye^(-4y) dy + 4∫[0→+∞] ye^(-2y)dy
=(1/2)∫[0→+∞] y de^(-4y) - 2∫[0→+∞] yde^(-2y)
=(1/2)ye^(-4y) - (1/2)∫[0→+∞] e^(-4y) dy - 2ye^(-2y) + 2∫[0→+∞] e^(-2y)dy |[0→+∞]
=-(1/2)∫[0→+∞] e^(-4y) dy + 2∫[0→+∞] e^(-2y)dy
=(1/8)e^(-4y) - e^(-2y) |[0→+∞]
=-1/8 + 1
=7/8

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