Question

lim（e的x次方+x）的1/x次方 x→0

Answer 1

x→0
lim (e^x+x)^(1/x)
=lim e^ln (e^x+x)^(1/x)
=e^lim ln (e^x+x)^(1/x)
考虑
lim ln (e^x+x)^(1/x)
=lim ln(e^x+x) / x
=lim ln(1+e^x+x-1) / x
根据等价无穷小：ln(1+x)~x
=lim (e^x+x-1) / x
=lim (e^x-1)/x + lim x/x
=1+lim (e^x-1)/x
换元，t=e^x-1，x=ln(1+t)
=1+lim(t→0) t / ln(1+t)
=1+lim 1 / ln(1+t)^(1/t)
=1 + 1 / ln lim (1+t)^(1/t)
根据重要的极限，
=1 + 1 / lne
=1+1
=2
因此，原极限=e^2
有不懂欢迎追问

追问

有简单一点的做法吗

追答

这样的做法其实已经很简单了
看起来好像很复杂，但是思想却是十分简单的
简单一点的做法还是有的：
x→0
lim (e^x+x)^(1/x)
=lim e^ln (e^x+x)^(1/x)
=e^lim ln (e^x+x)^(1/x)
考虑
lim ln (e^x+x)^(1/x)
=lim ln(e^x+x) / x

然后利用L'Hospital法则
=lim [ln(e^x+x)]' / x'
=lim (e^x+1) / (e^x+x)
=(1+1) / (1+0)
=2
因此，原极限=e^2
有不懂欢迎追问

Answer 2

e^2