大一高数题目
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f'(x)cosx+f(x)sinx=1，
f'(x)=-f(x)sinx/cosx+1/cosx，(*)
先求对应的齐次方程
f'(x)=-f(x)sinx/cosx的通解.
df(x)/f(x)=-sinxdx/cosx=d(cosx)/cosx,
ln|f(x)|=ln|cosx|+ln|C|,
即f(x)=C cosx.
由常数变易法，令f(x)=C(x)cosx,
则f'(x)=C'(x)cosx-C(x)sinx,
代入原方程(*)得,
C'(x)=1/cos²x,
C(x)=tanx+C.
故原方程的通解为
f(x)=(tanx+C)cosx,
即f(x)=sinx+C cosx.
f'(x)=-f(x)sinx/cosx+1/cosx，(*)
先求对应的齐次方程
f'(x)=-f(x)sinx/cosx的通解.
df(x)/f(x)=-sinxdx/cosx=d(cosx)/cosx,
ln|f(x)|=ln|cosx|+ln|C|,
即f(x)=C cosx.
由常数变易法，令f(x)=C(x)cosx,
则f'(x)=C'(x)cosx-C(x)sinx,
代入原方程(*)得,
C'(x)=1/cos²x,
C(x)=tanx+C.
故原方程的通解为
f(x)=(tanx+C)cosx,
即f(x)=sinx+C cosx.
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