Question

一道数学题，求详解。

证明:抛物线上任意四点组成的四边形不可能是平行四边形。

Answer 1

设抛物线方程为y=2px，抛物线上四点A，B，C，D坐标是（2pt（i）²，2pt（i）），i∈（1，2，3，4）
假设ABCD是平行四边形，
则k（AB）=k（CD）,k（AD）=k（BC）
∵k（AB）=1/（t1加t2）
k（CD）=1/（t3加t4）
k（AD）=1/（t1加t4）
k（BC）=1/（t2加t3）
则有:
1/（t1加t2）=1/（t3加t4）
1/（t2加t3）=1/（t1加t4）
∴t1=t3，t2=t4，即A,C重合，B，D重合,这与假设矛盾，所以ABCD不可是平行四边形。

追问

哎，没办法没别的人回答了，只好选你做满意答案了。不过也谢谢你的回答。

追答

谢谢你的认同，可能你上述方法有些不满，那么还有种解法不知你是否接受（刚刚用手机有些数字不好打，所以用上述方法，但下面这种方法更简单些）。
解：
设抛物线方程为y=2px，平行四边形的一组对边AB,CD所在直线分别为y=kx+b1，y=kx+b2（b1≠b2），连理直线方程和抛物线方程，并分别基数按其弦长得：
AB=2×√﹙﹙1+k²﹚﹙p²－2k×b1×p﹚﹚／k²,CD＝2×√﹙﹙1+k²﹚﹙p²－2k×b2×p﹚﹚／k²
∵b1≠b2
∴AB≠CD
∴ABCD不可能是平行四边形。
不知者如你意吗?

Answer 2

假设4个点均在抛物线的一侧。明显不可能。
假设2个点轴一侧。（对应直线L1）另外2个点在另外一侧。。（对应直线L2）
则只要证明L1和L2不可能平行就可以了。
楼主可以自己证明证明

追问

你这回答有点坑

追答

貌似有个手机的朋友回答了。
你可以看下看是不是正确。

我刚刚说的只是大概的方法。如果要写具体过程。估计没半个小时不行。

Answer 3

证明有两条边对边是绝对不会相等的，可以用反证法。或证用斜率明两对边不平行。
感觉第一个容易些。