Question

不等式这道题怎么做

Answer 1

ab=a+b+1
a(b-1)=b+1
a=(b+1)/(b-1)
因为a>0，所以b>1
所以a+2b=(b+1)/(b-1)+2b
=2/(b-1)+2(b-1)+3
>=2√4+3
=7
当且仅当2/(b-1)=2(b-1)，b=2，a=3时，等号成立

Answer 2

ab=a+b+1; a=1+a/b+1/b>1; b=1+b/a+1/a>1
(a-1)(b-1)=2

a+2b=(a-1)+2(b-1)+3≥3+2√2(a-1)(b-1)=3+4=7

仅当a-1=2(b-1)取等号

Answer 3

设x=a+2b,则a=x-2b,代入ab=a+b+1,得
b(x-2b)=x-2b+b+1,
(b-1)x=2b^2-b+1,
x=2b+1+2/(b-1),
a>0,b>0,
所以0<b<x/2,
所以b>1,x=2(b-1)+2/(b-1)+3>=7,
当b=2,a=3时取等号，
所以x的最小值是7，为所求。