Question

若直线y=kx+1与曲线x=根号y^2+1有两个不同的交点，则k的取值范围

Answer 1

曲线x=根号y^2+1
是双曲线 x²-y²=1 的右支
组成方程组
x²-（kx+1）²=1
（1-k²）x²-2kx-2=0
△=b²-4ac= 4k²+8（1-k²）＞0
解得 k²＜2
-√2＜k＜√2

追问

有，是一道选择题

追答

修改好了

追问

不是耶，是-√2＜k<-1
我开始选的是-√2＜k＜√2 ，错了= =

追答

补充
x²-（kx+1）²=1
（1-k²）x²-2kx-2=0
△=b²-4ac= 4k²+8（1-k²）＞0
解得 k²＜2
-√2＜k＜√2
因为是双曲线 x²-y²=1 的右支，故x＞0
f（x）=（1-k²）x²-2kx-2
根据韦达定理 x1+x2= 2k/ (1-k²)＞0，x1*x2= 2/(k²-1)＞0
解得 k＜ -1
故-√2＜k<-1

追问

k＜ -1
求不出，卡住了

Answer 2

y=kx+1
x=(y-1)/k (1)
x=sqrt(y^2+1) (2)
(1)和(2)联立，化简得
(1-k^2)y^2-2y+(1-k^2)=0
有两个不同的交点,delta>0
4-4(1-k^2)^2>0
-1<1-k^2<1
-sqrt(2)<k<sqrt(2)
根据(2)，x>=1
x1+x2=2/(1-k^2)>=2
由此得
(k^2-2)/(k^2-1)<=0
k不等于1和-1
(k+sqrt(2))(k-sqrt(2))/[(k+1)(k-1)]<=0
-sqrt(2)<=k<-1或1<k<=sqrt(2)
注意到1<k<=sqrt(2),直线与双曲线交点在x<0区域，与x>=1不符
综合-sqrt(2)<=k<-1与-sqrt(2)<k<sqrt(2)
得出-sqrt(2)<k<-1