Question

数学归纳法证明:1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2√n

数学归纳法证明:1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2√n

Answer 1

证明
1、当n=1时
左边=1，右边=2
不等式成立
2、假设n=K，K属于整数成立
则1+1/√2+1/√3+...+1/√K<2√K
那么当n=K+1时
1+1/√2+1/√3+...+1/√K+1/√（K+1）
<2√K+1/√（K+1）
=[2√K√（K+1）+1]/√（K+1）
≤[K+（K+1）+1]/√（K+1）
=2（K+1）/√（K+1）
=2√（K+1）
也成立
所以1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2√n

这里关键的一步是2√K√（K+1）≤K+（K+1），这是应用了均值不等式2√ab≤a+b

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Answer 2

当k>1时，1/√k=2/（2√k）<2/(√k+√(k-1))=2(√k-√(k-1))
n=1时，原不等式成立。
n≥2时，只需归纳证明：1+2(√2-√1)+2(√3-√2)+···+2(√n-√(n-1))<2√n
实际上直接化简就可以了
1+2(√2-√1)+2(√3-√2)+···+2(√n-√(n-1))
=1+2√2-2+2√3-2√2+···+2√n-2√(n-1)
=2√n-1
<2√n

Answer 3

n=1,n=2时显然成立，（自己验证下吧）
假设当n=k时，不等式也成立，即 1+1/√2+1/√3+...+1/√k<2√k
则，当n=k+1时，1+1/√2+1/√3+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+【1/√(k+1)】
而2√k+【1/√(k+1)】=【2√k×√(k+1)+1】/【√k+1】
<【k+(k+1)+1】/【√k+1】 （利用基本不等式，2√a√b<a+b）
=2(k+1)/【√k+1】 =2√(k+1)
∴当n=k+1时，不等式也成立，∴1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2√n
不懂追问

Answer 4

=1+√2/2+√3/3+...+√n/n<2√n/n