Question

复变函数论公式证明

详细过程

Answer 1

待证命题实际上是解析函数的平均值定理：如果函数f(z)在单连通域D上解析，z0是区域D内的一点，曲线C是区域D内以z0点为圆心的圆周，那么f(z0)等于函数f(z)在曲线C上的平均值，即 f(z0)=1/2π*∫f(z0+re^iΘ)dΘ，其中r是圆周C的半径，积分范围是0到2π 因此这道题的关键在于通过这个调和函数u(x,y)构造出解析函数f(z) 下面给出构造得到的解析函数f(z): 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u，v都是实函数，并且v函数满足： 可以证明v是u的共轭调和函数，而且u、v满足柯西黎曼方程，因此函数f(z)是区域D上的解析函数 (详细过程这里没有给出，可以参考这篇论文：《由调和函数构造解析函数的一种方法》，可以在中国知网查找) 因此根据柯西积分公式 由于C圆周的特殊性，可以令 所以 由实部和虚部对应相等即得到待证命题

追问

麻烦看题

Answer 2

简单证明z1和z2是两个向量，起点均为O，将他们的终点相连，这条线对应的向量就是z1-z2。
也就是说z1，z2和z1-z2三个向量构成一个三角形(或者一条直线)
根据三角形两边之差小于第三边(直线时可以等于)
所以
||z1|-|z2||≤|z1-z2|

追问

用复数怎么证明，z1 z2都是复数的话怎么证呢？

追答

上一个证明方法是利用复数的几何意义，非要硬算的话，方法如下
证明方法就是设z1=a(cosα+isinα)，z2=b(cosβ+isinβ)，(a≥0且b≥0)
那么|z1|=a ，|z2|=b
z1-z2=(acosα-bcosβ)+i(asinα-bsinβ)
|z1-z2| =√((acosα-bcosβ)²+(asinα-bsinβ)²)
所以
(|z1|-|z2|)²-(|z1-z2|)²
=a²-2ab+b²-(acosα-bcosβ)²-(asinα-bsinβ)²
=-2ab+2ab(cosαcosβ+sinαsinβ)
=2ab[cos(α-β)-1]
≤0
所以
(|z1|-|z2|)²≤(|z1-z2|)²
因此
||z1|-|z2||≤|z1-z2|

追问

emmm我们老师讲了一种把z1换成z1+z2–z2，z2换成z2+z1–z1的方法，我想问下这样怎么证明

麻烦您了

追答

暂时没什么头绪，猜测是要利用图片里面的前面的某个公式

追问

图片之前的公式就只有|z1+z2|≤|z1|+|z2|

辛苦您了

追答

抱歉，还是没有头绪

追问

用这两个公式怎么证明呢