Question

线性代数求矩阵秩的一个问题

已知一个三阶矩阵A,它的行列式为零，由此可以得出它的秩小于3，如果已知该矩阵的第一二行不成比例，为什么能得出它的秩为2？我们老师上课时就是这样直接看出来的，可惜我没听懂。如果三阶矩阵的三行都不成比例，结果又会怎样？矩阵行与行之间成不成比例与矩阵的秩又有什么关系？

Answer 1

你的问题要反过来回答.
1. 矩阵行与行之间成不成比例的话, 就不可能通过初等变换, 把其中的一行的元素全变换为0;

2. 如果三阶矩阵的三行 (经过适当的初等变化后) 都不成比例，就不可能通过初等变换, 把行列式的任一行的元素全变换为0. 也就是说, 该三阶矩阵满秩, rank=3;

3. 如果已知该矩阵的第一二行不成比例, 那就说明, 该矩阵至少有两行不能通过初等变化, 变换为全0元素, 该矩阵的秩大于等于2;
4. 已知一个三阶矩阵A, 它的行列式为零, 所以该矩阵的不满秩, 它的秩小于3, 又根据第三条的分析可知该矩阵的秩大于等于2, 所以三阶矩阵A的秩为2.

追问

这就是我们老师上课讲的矩阵A{4，-2，-2；-2，4，-2；-2，-2，4}。为什么我感觉这三行都不成比例呢？可它的秩是小于3的，这是怎么回事？

追答

如上面的第二点所述, 利用三行成比例来判断的前提是要把矩阵"经过适当的初等变化后", 而不是直接进行判断, 比如你举的例子, 对A做初等行变换r1->r1+r2+r3, 就会得到新的r1是一个全0的行向量, 所以A秩小于3.

Answer 2

要点：矩阵的秩就是行（列）向量组的秩
设A=(a1,a2,a3)^T,a1,a2,a3为A的行向量
向量a1和a2相关的充要条件是a1和a2成比例，即存在数k使得a1=ka2
但是a1,a2不成比例，所以R{a1,a2}>1，但R{a1,a2,a3)<3,所以3>R{a1,a2,a3}>=R{a1,a2}>1
故R(A)=R{a1,a2,a3}=2

追问

a1,a2不成比例，r{a1,a2}>1,即r{a1,a2}=2对吧？如何判断三行是否成比例呢，一定要化成行阶梯型吗？就拿矩阵A{4，-2，-2；-2，4，-2；-2，-2，4}来说，前两行不成比例可以很容易地看出，那判断三行是否成比例就不能用两行的判定方法对吧？