Question

1.设A是n阶矩阵，αi(i=1,2,...n)为n维非零向量，且有Aαi=αi+1，1<=i<n，Aα＿n=0，

证明向量组α1,α2...αn线性无关 。
2.设二次型f（x1，x2，x3）=x1²+x2²+x3²+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3经正变换x=Qy化为f（y1,y2,y3)=y2²+y3²。试求常数a，b；试判断二次型f（x1,x2,x3）是否为正定二次型，为什么。

Answer 1

1 设k1α1+k2α2+…………+knαn＝0.
左乘A k1α2+…………+k﹙n-1﹚αn＝0
再左乘A k1α3+……+k﹙n-2﹚αn＝0
…………………………………………
再左乘A k1α﹙n-1﹚+k2αn＝0
再左乘A k1αn＝0
从末式 k1＝0 代人次末式 k2＝0, 再往上代，得到 k3＝……＝kn＝0
即向量组α1,α2...αn线性无关 。
2 行列式
| 1 a 1 |
|a 1 b |
|1 b i |＝-﹙a-b﹚²＝0 a＝b≠1 [＝1时 秩为1] 不 正定 [ 正定秩为3，这里是2]