Question

高一数学，急求解！！！要详细过程

若存在实数K，使f（x）=-（1／2）x^2+x的定义域为[m，n]，值域为[km，kn]，求出m，n的值，并求出k的取值范围

Answer 1

易知f(x)=-(1/2)x^2+x=-(1/2)(x-1)^2+1/2，开口向下，对称轴为x=1，且过原点
因m<n，且km<kn，则k>0

要保证f(x)定义域为[m，n]、值域为[km，kn]
即要保证在区间[m，n]上f(x)单调且与直线y=kx有两个交点
因f(x)过原点，则原点是f(x)与直线的一个交点
说明m=0或n=0
由f(x)的单调性可知，另一个交点不可能在x>1的区间上产生，即n≤1
则当m=0时，必有0<n≤1，此时定义域为[0，n]，值域为[0，kn]
当n=0时，必有m<0，此时定义域为[m，0]，值域为[km，0]

易知n=1时，kn=1/2，即k=1/2
令-(1/2)x^2+x=kx，即(1/2)x^2+(k-1)x=0
则当⊿=(k-1)^2=0即k=1时，直线y=kx与f(x)只有一个交点
此时x=0，即直线y=kx与f(x)在原点处相切
所以k的取值范围为[1/2，1)U(1，+∞)