Question

一个数学题，急急急！好的加分！！！

如图，在Rt三键ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=1，线段AD是BC边上的中线，将△ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到△FCE，显然四边形ADEF是等腰梯形。再将△FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α°
求证：在旋转过程中四边形ADEF依然是等腰梯形！
急急急！
要过程！
好的加分！！！

Answer 1

 

解：如图，

∵，∠BAC=90°，∠B=30°，D为斜边BC的中点

∴AD=BD=CD且∠BAD=∠B=30°

∴∠ADC=60°

∴△ACD为等边三角形

∴AC=AD=BD=CD=1

又∵△ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到△FCE

∴△FCE也是等边三角形

∴∠FCE=∠ACD=60°且AC=FC

∴△ACF为等边三角形

设△FCE旋转至△F'CE'，连接DE',AF'

∵△FCE绕C顺时针旋转α°

∴FE=F'E'，CD=CE=CE'且∠FCE=∠F'CE'=60°

∴∠FCF'=∠ECE'=α（∠FCE-∠F'CE=∠F'CE'-∠F'CE)

∴在等腰三角形ACF'内

∠CAF'=∠CF'A=（180-60-α）/2=60-α/2

又∵CD=CE'

∴∠CDE'=∠CE'D=α/2

∴∠AF'E'+∠DE'F'=（60°-α/2+60°）+（60°+α/2）=180°

∴AF'平行DE'

∴四边形ADEF是等腰梯形

Answer 2

解：（1）在图①中，∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．
在旋转过程中，分两种情况：
①当点E和点D在直线AC两侧时，如图2，
∵∠ACE=150°，
∴α=150°-120°=30°；
②当点E和点D在直线AC的同侧时，如备用图，
∵∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°，
∴α=180°-∠DCE=90°．
∴旋转角α为30°或90°；

（2）四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．
∵∠BAC=90°，∠B=30°，AC=
12BC，
又AD是BC边上的中线，∴AD=CD=12BC=AC，
∴△ADC为正三角形．
①当∴α=60°时，∠ACE=120°+60°=180°，
∵CA=CE=CD=CF，∴四边形ADEF为平行四边形，
又∵AE=DF，∴四边形ADEF为矩形，
②当α≠60°时，∠ACF≠120°，∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°，
显然DE≠AF，
∵AC=CF，CD=CE
∵2∠FAC+∠ACF=180°，2∠CDE+∠DCE=180°∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°，
∴2∠FAC+2∠CDE=120°，
∴∠FAC+∠CDE=60°，
∵∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°
∴AF∥DE．∴四边形ADEF为等腰梯形．