Question

已知在RT三角形ABO中角AOB=90度,OA=3,OB=4,设P为三角形ABO内切圆上的动点,求PA^2+PB^2+PO^2的最小值和最大

只想校对下答案 我算出来的是22和34
但别的答案是22和18
不知道哪一个正确 谢谢了

Answer 1

解：在RT三角形ABO中角AOB=90度,OA=3,OB=4
得：AB=5
根据直角三角形内切圆的推导公式r=(a+b-c)/2（注：r是Rt△内切圆的半径，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边），可求出内切圆r
得：r=(OA+OB-AB)/2
=(3+4-5)/2
=1
以O为坐标原点， OA、OB两直角边为y，x轴建立直角坐标系，设OB边和x轴重合，
设：P点坐标为：（x,y），A点坐标：（0,3），B点坐标（4,0）
向量PA=（-x，3-y），向量PB=（4-x,y）,向量PO=(-x,-y)
令：Z=PA²+PB²+PO²
=x²+(3-y)²+(4-x)²+y²+x²+y²
分解因式得：Z=3(x²+y²)-8x-6y+25----①
内切圆的方程为：（x-1）²+(y-1)²=1
由题知： 点p在内切圆上，所以满足上述内切圆方程
得：x²+y²-2x-2y+1=0----②
由①-3×②得：Z=22-2x
因：P点在半径为1的圆上
得：P在x上的取值范围为：0≤x≤2（不等式两边同乘-2）
得：-4≤-2x≤0（不等式两边加22）
得：18≤22-2x≤22
得：18≤Z≤22
即：18≤PA²+PB²+PO²≤22

参考资料：http://baike.baidu.com/view/608209.htm

祝学习进步，谢谢！

Answer 2

建立直角坐标系吧
以OB为x轴，OA为y轴
设点P坐标（x,y)
过P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N
于是PA²=AN²+PN²=（3-y)²+x²
PB²=PM²+BM²=y²+（4-x)²
PO²=PM²+OM²=y²+x²
所以PA^2+PB^2+PO^2=（3-y)²+x²+y²+（4-x)²+y²+x²=3x²+3y²-6y-8x+25=3x²+3（y-1）²-8x+22 ①
继续求的三角形OAB内切圆方程为（x-1)²+（y-1)²=1，就是有（y-1)²=1-（x-1)²代入①
就是PA^2+PB^2+PO^2=3x²+3【1-（x-1)²】-8x+22 =22-2x，显然x取值范围是0≤x≤2
所以最大最小就知道了呀
是22和18