Question

一道微积分题目

讨论该函数在X＝0的连续性和可导性 求过程。

Answer 1

连续性的证明：当 x->0 时，函数是无穷小乘有界量，lim f(x) = 0 = f(0) ,故在 x=0 处连续。
可导性的证明：由导数定义知 ，x->0 , lim [ f(x) - f(0) ] / x = lim x*sin(1/x) =0 极限存在，故可导，其导数值=0。

Answer 2

求极限limx2sin1/x=0，因为x趋于零，x2为无穷小量，sin1/x为有界量，所以极限为零，而x=0的函数值也是0，所以在零点连续
根据导数定义，考虑极限h→0，lim((x+h)^2 sin1/(x+h)-x^2 sin1/x)/h=-cos(1/x)+2xsin1/x，极限存在，所以可导