Question

求高手解高数

y是x的函数，且在x=a处有二阶导。求{[f〔h+a〕‐f〔a〕]∕h‐f’〔a〕}∕h当h趋于0时的极限。答案是f”∕2.求过程。

Answer 1

lim{[f(h+a)‐f(a)]/h‐f’(a)}/h
h趋于0时，[f(h+a)‐f(a)]/h趋于f’(a)，即上式是0/0型，
运用洛必达法则，有
lim{[f(h+a)‐f(a)]/h‐f’(a)}/h
=lim{[f(h+a)‐f(a)]/h‐f’(a)}‘
=lim{[f(h+a)‐f(a)]/h}’
=lim{{[f(h+a)‐f(a)]'*h-[f(h+a)‐f(a)]}/h^2}
=lim{[f'(h+a)*h-f(h+a)+f(a)]/h^2}（h趋于0时此式仍为0/0型，继续洛必达）
=lim{[f'(h+a)*h-f(h+a)]'/(2h)}
=lim{[f''(h+a)*h+f'(h+a)-f'(h+a)]/(2h)}
=lim[f''(h+a)/2]
=f''(a)/2（h趋于0时f''(h+a)=f''(a)）

Answer 2

原式=lim{[f(h+a)-f(a)-h*f’(a)]/h^2}=lim{[f‘(h+a)-f‘(a)]/(2h)}=lim{f"(h+a)/2}=f"(a)/2