Question

问一道高数题，关于函数的可导。

题目和答案就是这样。
但我想问的是，第二问，假如我直接对函数求导，不是得出和第三问一样的式子？那么这样的话，n是不是也应该是大于等于3而不是2呢？
或者说，我把原函数的式子求导，得出第三问的式子，证明一个函数可导，就是左右分别可导且相等嘛，这样左右求极限，x趋向于0时，不也说明了n要大于等于3？
好混乱啊，求解。

Answer 1

答案是错的，你哪找的答案。。。
(1)连续，那么需要极限=函数值
即lim x->0 x^n sin(1/x)=0
因为-1<=sin(1/x)<=1
是有界量
只需要x^n->0即可，所以只需要n>0即可,无穷小乘有界量->0
(2)x=0点可导，即左右导数极限相等且有界
即f'(0)=lim x->0 [f(x)-f(0)]/(x-0)=lim x->0 x^(n-1)sin(1/x)
要使得此极限有意义，只能有x^(n-1)是无穷小，即n>1
且f'(0)=0
(3)导数连续和在那点可导是不一样的
原因是导数在x0处存在表示
lim x->x0- [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim x->x0+ [f(x)-f(x0)]/(x-x0) 有界
导数在x0处连续表示
lim x->x0 f'(x)=f'(0)
是不一样的定义
此题就是
f'(x)=nx^(n-1)sin(1/x)-x^(n-2)cos(1/x)
为了使lim x->x0 f'(x)=f'(0)=0
必须有n>1且n>2
所以即n>2

Answer 2

你好，我来回答你的问题吧。你的想法是不对的，我告诉你这是为什么，你想想看。首先，你要区分两个不同的说法，一个是函数在某一点可导，另一个是函数在定义域内或某一区间内可导。这两种说法是不同的。如果题目说在某一点可导，那么在定义域内的其他点是否可导呢？其实我们是不知道的，对吗？一个函数，只有可导的前提下，我们才能利用导数公式去求导，如果不可导，那么是不能直接求导的。你的错误就在这里。第二问只说是在0点可导，并没告诉你在定义域内其他各点也可导，而你的做法如果是直接求导，那就错了，因为题目没告诉你该函数在定义域内其他各点的也可导，所以如果你直接求导，其实就是在承认一个假设的基础上来做题的，这个假设就是这个函数在整个定义域上都可导，所以才能够直接对他求导，这与题干的意思就不一样了。你想想是不是这个道理？所以，注意一下，向第二问这样的情况，都是用定义来求在某一点可导的，好好理解一下，以后按答案的方法做题即可。再说说第三问，告诉你导数连续，注意这种表述方式，是导数连续，这其实就是在隐含着告诉你一件事，就是这个函数可导，如果不可导，怎么会有函数的导数呢，并且导数还是连续的，你想想是不是？相通这一点，你就会明白，其实条件中已经明确说明了函数是可导的，因为函数有导数啊，对不对？所以，答案才可以对这个函数直接求导。你把题干第二问和第三问好好比较比较区别，注意不同的说法下做法的不同。有不懂的可以追问我！

Answer 3

你直接求
就是说明 函数可导 推出 导函数
但你没有证明函数是否可导（有间断点）
有间断点的函数 你要证明函数是不是连续和可导
题目就是一步一步的递进
第一步 函数连续性
第二部 是否可导
第三步 导函数的连续性
这三的关系不要混淆 谁推谁 要清楚 贵阳家教

Answer 4

这是清华大学出版社数学分析1的一道例题，解答如上图。