Question

问一道高数题，关于函数的可导。

题目和答案就是这样。
但我想问的是，第二问，假如我直接对函数求导，不是得出和第三问一样的式子？那么这样的话，n是不是也应该是大于等于3而不是2呢？
或者说，我把原函数的式子求导，得出第三问的式子，证明一个函数可导，就是左右分别可导且相等嘛，这样左右求极限，x趋向于0时，不也说明了n要大于等于3？
好混乱啊，求解。

Answer 1

你直接求导得到的是函数在开区间(-∞,o)，和(0,+∞)上的导函数，和x=0这点没任何关系。而现在要问的恰恰是x=0的情况。
你要对导函数求极限，假如极限存在，也只是说明导函数的极限存在，但在x=0这点是否可导都不知道。当然就更谈不上连续了。
就像函数的极限存在，但函数可以在这点没有定义。例如：(1-x²)/(1-x),x→1,时极限存在，但函数在x=1,就没有定义。

Answer 2

在我看来推荐答案没有讲清楚

其次答案是错的
(1)连续，那么需要极限=函数值
即lim x->0 x^n sin(1/x)=0
因为-1<=sin(1/x)<=1
是有界量
只需要x^n->0即可，所以只需要n>0即可,无穷小乘有界量->0
(2)x=0点可导，即左右导数极限相等且有界
即f'(0)=lim x->0 [f(x)-f(0)]/(x-0)=lim x->0 x^(n-1)sin(1/x)
要使得此极限有意义，只能有x^(n-1)是无穷小，即n>1
且f'(0)=0
(3)导数连续和在那点可导是不一样的
原因是导数在x0处存在表示
lim x->x0- [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim x->x0+ [f(x)-f(x0)]/(x-x0) 有界
导数在x0处连续表示
lim x->x0 f'(x)=f'(0)
是不一样的定义
此题就是
f'(x)=nx^(n-1)sin(1/x)-x^(n-2)cos(1/x)
为了使lim x->x0 f'(x)=f'(0)=0
必须有n>1且n>2
所以即n>2

最后明确一点，对于x^2sin(1/x)如果直接求导，然后代入x=0你会发现极限不存在
这时候不能说没有极限，为什么呢，因为积法则也是需要成立条件的，即(uv)'(x0)=u'(x0)v(x0)+u(x0)v'(x0)
需要u'(x0)和v'(x0)都存在才成立
此处v'=-1/x^2 cos(1/x)在x=0处极限不存在，所以积法则在x=0处失效，这也就是为什么第二问不能直接求导的原因，而第三问取极限x->0时，这个本身就表明x≠0，只是趋近于0而已，所以可以直接求导。

Answer 3

你直接求
就是说明 函数可导 推出 导函数
但你没有证明函数是否可导（有间断点）
有间断点的函数 你要证明函数是不是连续和可导
题目就是一步一步的递进
第一步 函数连续性
第二部 是否可导
第三步 导函数的连续性
这三的关系不要混淆 谁推谁 要清楚 贵阳家教