Question

p,g,r都是正数，求证关于x的3个方程： 8x²-8√p+g=0 8x

p,g,r都是正数，求证关于x的3个方程： 8x²-8√pxg=0 8x²-8√gx+r=0 8x²-8√rx+p=0 中至少有一个方程有两个不等实数根。

Answer 1

用反证法。
如果三个方程都没有两个不等实数根，则三个方程的判别式都小于等于0
所以有
64p-32g≤0
64g-32r≤0
64r-32p≤0
三个式子相加得
32（g+r+p）≤0与p,g,r都是正数矛盾
所以 8x²-8√pxg=0 8x²-8√gx+r=0 8x²-8√rx+p=0 中至少有一个方程有两个不等实数根。

Answer 2

8x²-8√px+g=0 △1=64p-32g
8x²-8√gx+r=0 △2=64g-32r
8x²-8√rx+p=0 △3=64r-32p
△1+△2+△3=32(p+g+r)>0，则△1、△2、△3中至少有一个为正，三个方程中至少有一个有两个相等实根。

Answer 3

证明：△1=（-8√p）^2-4×8g=32(2p-g)
△2=（-8√g）^2-4×8r=32(2g-r)
△3=（-8√r）^2-4×8p=32(2r-p)
如果有两个小于等于0，不妨设32(2p-g)<=0,32(2g-r)<=0
则g>=2p,r>=2g
则r>=4p,又p,g,r都是正数
所以2r-p>=8p-p=7p>0
所以方程8x²-8√rx+p=0有两个不等实数根。
原命题得证。