Question

已知椭圆x^2/45＋y^2/20＝1的焦点分别是F1、F2，过中心O作直线相交于A、B两

已知椭圆x^2/45＋y^2/20＝1的焦点分别是F1、F2，过中心O作直线相交于A、B两点，要使三角形ABF2的面积为20，求该直线方程！

求过程，

求解答

Answer 1

已知芦卖椭圆x^2/45＋y^2/20＝1的焦点分别是F1、F2，
设过中心O作直线为y=kx
A(x1,y1) B(x2,y2)
S△ABF2=S△陪歼逗AOF2+S△BzOF2=1/2(|y1|+|y2|)*|OF2| |OF2|=c=5
联立
x^2/45＋y^2/20＝1 4x^2+9y^2=180
y=kx
4x^2+9k^2x^2=180
x^2=180/(4+9k^2)
x1=根号[180/(4+9k^2)] y1=k根号[180/(4+9k^2)]
x1=-根号[180/(4+9k^2)] y1=-k根改迹号[180/(4+9k^2)]
5/2(|y1|+|y2|)=5/2*[ 2|k|根号[180/(4+9k^2)] ]=20
|k|根号[180/(4+9k^2)] ]=4
180k^2=16(4+9k^2)
9k^2=16
k=4/3或k=-4/3
该直线方程为 y=4x/3或y=-4x/3

Answer 2

由题意 a²=45 b²=20 c²=45-20 =25 c=5 F2（5，0）
设直线方程y=kx （k不存在时衡毕不合题意）
y=kx
x²/45+y²/20=1
x=±30/√(20+45k²)
y=±30k/√(20+45k²)
A(30/√(20+45k²),30k/√(20+45k²)) B(-30/√(20+45k²),-30K/√(20+45k²))
|AB|=60/√(20+45k²)×√(1+K²)
点F2到直线AB的距离d=|5k|/√(1+k²)
三角形ABF2的面积咐槐芹=1/2×|AB|×d=20
1/2×60/√(20+45k²)×√(1+K²)×|5k|/√明皮(1+k²)=20
化简整理得
k=±4/3
该直线方程y=4x/3 y=-4x/3