Question

为什么向量组中向量个数大于维数的时候，向量组就一定线性相关呢？

比如说有这样一个向量组：a1=(1,0,0) a2=(3,0,0)a3=(5,0,0)a4=(0,2,0)，这很明显是个数大于维数啊，而且还是不相关的呢！！

Answer 1

个数大于维数，顶多推出它们构成的矩阵列数大于行数，此时，对应的齐次线性方程组有非零解，所以线性相关。

具体过程如下：

抽象情况下，维数的标准定义是最大线性无关向量组的大小。你这里的维数应该指的是的，即向量作为一个tuple的长度。

只考虑的情况，因此要证明的维度(最大线性无关向量组的大小)就是n。

显然，我们已经有一个标准基底。因此任意个矢量都可用标准基底唯一线性表示。假设这个矢量是线性无关的，即不存在不全为零的使得。

扩展资料：

相关定理：

对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。

向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。

包含零向量的任何向量组是线性相关的。

含有相同向量的向量组必线性相关。

增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)

减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）

一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。 

参考资料来源：百度百科--最大线性无关向量

参考资料来源：百度百科--线性相关

Answer 2

一定是相关的. 因为梯形化以后最后一行一定是零向量. 有零向量的向量组显然是线性相关的, 因为这个零向量不影响线性表示而可剔除.

追问

但是你看看a1,a2,a3,a4,你能找出一组不全为0的数(k1,k2,k3,k4)，使得k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a4=0么？显然没有嘛！a1,a2,a3,a4显然是线性无关的嘛

追答

(k1,k2,k3,k4)=(-3,1,0,0).

Answer 3

不用化简。向量组线性相关的充分必要条件是它们所拼成的矩阵的秩小于向量的个数。当向量个数大于维数时，矩阵的秩≤行数=向量维数<向量个数，所以向量组一定线性相关。

Answer 4

维数等于基底中向量的个数，向量组中每个向量都可以表示成基底的线性组合，用坐标可表示成多于维数个方程的方程组，要让这个方程组有解，必然有些方程可以用另外的方程表示，也就是向量组线性相关。