Question

设函数f（x）=a^x-（k-1）a^（-x）（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数。

1.求k值
2.若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x^2+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范围。
3.若f（1）=1.5，g（x）=a^2x+a^（-2x）-2mf（x）且g（x）在【1，+∞】上的最小值为-2，求m的值。

Answer 1

解：（1）因为f（x）是定义域为R的奇函数
所以f（0）=0 亦即1-（k-1）=0，即k=2
（2） 函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
因为f（1）＜0， 所以a-1/a＜0，又 a＞0，所以1＞a＞0
由于y=a^x单调递减，y=a^-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x^2+tx）＜f（x-4）．
所以 x^2+tx＞x-4，即 x^2+（t-1）x+4＞0 恒成立
即有（t-1）^2-16＜0，解得-3＜t＜5
（3）因为f（1）=3/2 a-1/a=3/2
即2a2-3a-2=0，所以 a=2，或 a=1/2 （舍去）
所以 g（x）=2^2x+2^（-2x）-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）^2-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，是增函数．
因为x≥1，所以 t≥f（1）=3/2
令h（t）=t^2-2mt+2=（t-m）^2+2-m^2　（t≥3/2）
​​
若m≥3/2，当t=m时，h（t）min=2-m^2=-2，即m=2
若m＜3/2，当t=3/2时，h（t）min=17/4-3m=-2，解得m=25/12＞3/2，（舍去）
综上可知 m=2

Answer 2

解：1，由题意知，f(x)为定义域为R的奇函数，所以f(0)=a^0-(k-1）a^0=0，所以k=2
2，f(x)=a^x-a^(-x)
f(1)=a-1/a<0，又a>0,解得0<a<1,所以1/a>1
r(x）=a^x,h(x)=-(a^(-x))=-(1/a)^x,当0<a<1时在R上为减函数，所以f(x)=a^x-a^(-x)在R上为减函数；
所以由f(x^2+tx)+f(4-x)=f(x^2+tx)-f(x-4)<0,得f(x^2+x)<f(x-4),所以x^2+tx>x-4
即x^2+(t-1)x+4>0,所以△=（t-1)^2-4×4<0,所以-3<t<5
3,由f(1)=1.5,解得a=2,所以f(x)=2^x-2^(-x)
g(x)=2^(2x)+2^(-2x)-2m(2^x-2^(-x))=[2^x-2^(-x)]^2-2m[2^x-2^(-x)]+2,
={[2^x-2^(-x)]-m}^2+2-m^2
而x∈[1,+∞）时2^x-2^(-x)>=2^1-2^(-1)=3/2
讨论，若m<=3/2时，g(x)min=g(1)=9/4-3m+2=-2,解得m=25/12>3/2,不符合题意舍去
若m>3/2时，g(x)min=2-m^2=-2,解得m=±2，舍负；所以m=2.
综合m=2.