Question

已知，如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，BC＞BA，求证点D在线段AC悳垂直平分线上

Answer 1

如图

因为BC＞BA
故可以在BC上取一点E，使得AB=BE

又BD平分∠ABC
即∠ABD=∠DBE

又BD公用

故△ABD≌
△DBE

得到AD=DE
∠BAD=∠BED

又∠A+∠C=180°
∠BED+∠DEC=180°

故∠DEC=∠BED

所以DE=DC

又AD=DE

得AD=DC

即D在线段AC的垂直平分线上

Answer 2

要证点D在AC的垂直平分线上，只需证AD=CD

Answer 3

延长BA，过D作BA，BC的垂线，交BA的延长线于E，交BC于F，则

∵BD平分∠ABC
∴DE=DF

∵∠BAD+∠C=180° ∴∠EAD=∠C

又∵∠E=∠CFD=90°
∴△ADE≌△CDF

∴AD=CD
即
D在AC中垂线上。