Question

高等数学，涉及罗尔中值定理的证明题

Answer 1

罗尔中值定理是：如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
因此，需要根据证明的结论构造出满足条件的函数
令 g'(x)=f'(x)f(1-x)-f(x)f'(1-x),两边积分可以得到
g(x)=f(x)f(1-x)，这就是我们需要的函数
g(0)=f(0)f(1)=g(1)
g(x)显然满足[0,1]连续，(0,1)可导

Answer 2

NM是假定的一个辅助变量，它的值可以任意变动，当NM取特殊值0时，罗尔中值定理刚好和拉格朗日中值定理形式是一致的；当NM非0时用函数式来说明拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的广泛一般形式。这是用函数的思想，把满足特殊形式的规律推广到一般形式的过程。