Question

关于积分问题

它的积分怎么求？步骤详细一点，谢谢

Answer 1

∫√（x^2＋a^2）dx
＝x√（x^2＋a^2）－∫xd［√（x^2＋a^2）］
＝x√（x^2＋a^2）－∫｛x/［2√（x^2＋a^2）］｝d（x^2＋a^2）
＝x√（x^2＋a^2）－∫［x^2/√（x^2＋a^2）］dx
＝x√（x^2＋a^2）－∫［（x^2＋a^2－a^2）/√（x^2＋a^2）］dx
＝x√（x^2＋a^2）－∫√（x^2＋a^2）dx＋a^2∫［1/√（x^2＋a^2）］dx，
∴2∫√（x^2＋a^2）dx＝x√（x^2＋a^2）＋a^2∫［1/√（x^2＋a^2）］dx。

令x＝atanu，则：dx＝［a/（cosu）^2］du。
∴2∫√（x^2＋a^2）dx
＝x√（x^2＋a^2）＋a^2∫｛1/√［（atanu）^2＋a^2］｝［a/（cosu）^2］du
＝x√（x^2＋a^2）＋a^2∫［1/（1/cosu）］（1/cosu）^2du
＝x√（x^2＋a^2）＋a^2∫［cosu/（cosu）^2］du
＝x√（x^2＋a^2）＋a^2∫｛1/［1－（sinu）^2］｝d（sinu）
＝x√（x^2＋a^2）＋（a^2/2）∫｛（1－sinu＋1＋sinu）/［1－（sinu）^2］｝d（sinu）
＝x√（x^2＋a^2）＋（a^2/2）｛∫［1/（1＋sinu）］d（sinu）＋∫［1/（1－sinu）］d（sinu）｝
＝x√（x^2＋a^2）＋（a^2/2）（ln｜1＋sinu｜－ln｜1－sinu｜）＋C
＝x√（x^2＋a^2）＋（a^2/2）ln｜（1＋sinu）/（1－sinu）｜＋C
＝x√（x^2＋a^2）＋（a^2/2）ln｜（1＋sinu）^2/［1－（sinu）^2］｜＋C
＝x√（x^2＋a^2）＋（a^2/2）ln｜（1＋sinu）/cosu｜^2＋C
＝x√（x^2＋a^2）＋a^2ln｜（sinu＋1）/cosu｜＋C
＝x√（x^2＋a^2）＋a^2ln｜tanu＋1/cosu｜＋C
＝x√（x^2＋a^2）＋a^2ln｜x＋√［（tanu）^2＋1］｜＋C
＝x√（x^2＋a^2）＋a^2ln｜x＋√（x^2＋1）｜＋C。

∴2∫√（x^2＋a^2）dx＝（1/2）x√（x^2＋a^2）＋（a^2/2）ln｜x＋√（x^2＋1）｜＋C。