Question

轨迹方程的几种常用求法

常用的一些轨迹方程求法主要要与圆有关的谢谢了

Answer 1

求动点的轨迹方程要根据题设条件灵活地选择方法.常用的方法有两大类，一类是直接求法，包括利用圆锥曲线的定义等；另一类是间接求法，主要包括相关点法和参数法.
　　一、 直接法
　　一般情况下，动点在运动时，总是满足一定的条件的（即动中有静，变中有不变），可设动点的坐标为(x,y)，然后选择适当的公式（如两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两点连线的斜率公式，两直线（向量）的夹角公式，定比分点坐标公式，三角形面积公式等），或一些包含等量关系的定理、定义等，将题设条件转化成x,y之间的关系式（等式），从而得到动点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为直接法.
　　例1 已知定点a（-1，0），b（2，0），动点m满足2∠mab=∠mba,求点m的轨迹方程.
　　解析 直接设点m为（x,y），先将2∠mab=∠mba转化成直线ma，mb的斜率的关系式，便可得点m的轨迹方程.
　　图1
　　如图1，设∠mab=α,则∠mba=2α,显然0≤α＜90°.
　　(1) 当2α≠90°时，
　　若m点在x轴上方，
　　则有tanα=kma=yx+1,tan(π-2α)=kmb=yx-2.
　　若点m在x轴下方，则有tan(π-α)=kma=yx+1,tan2α=kmb=yx-2.
　　于是总有-yx-2=2y1+x1-y2(1+x)2,注意到|ma|＞|mb|，可得x2-y23=1(x≥1).
　　若点m在x轴上，则点m为线段ab上的点，所以有y=0（-1＜x＜2）.
　　（2） 当2α=90°时，△mab为等腰直角三角形，点m为（2，±3）.
　　综上，点m的轨迹方程为x2-y23=1(x≥1)或y=0(-1＜x＜2＝.
　　二、 定义法
　　若动点在运动时满足的条件符合某种已知曲线的定义，则可以设出其轨迹的标准方程，然后利用待定系数法求出其轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求轨迹方程要熟知常见曲线的定义、特征.
　　例2 设动点p到点a（-1，0）和b（1，0）的距离分别为d1，d2（d1d2≠0），∠apb=2θ.若存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d1d2sin2θ=λ恒成立.
　　证明：动点p的轨迹c为双曲线，并求出c的方程.
　　图2
　　解析 如图2，在△pab中，|ab|=2.
　　由余弦定理，可得22=d21+d22-2d1d2cos2θ，即4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ，
　　又d1d2sin2θ=λ（常数），0＜λ＜1，
　　则有|d1-d2|
　　=4-4d1d2sin2θ=21-λ（常数）＜2=|ab|，
　　所以点p的轨迹c是以a,b为焦点，实轴长2a=21-λ的双曲线，
　　从而a=1-λ，c=1,故b2=c2-a2=λ，
　　则c的方程为x21-λ-y2λ=1.
　　三、 代入法
　　若所求轨迹上的动点p(x,y)与另一个已知轨迹（曲线）c:f(x,y)=0上的动点q（x1,y1）存在着某种联系，则可以把点q的坐标用点p的坐标表示出来，然后代入曲线c的方程f(x,y)=0中并化简，即得动点p轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫做代入法（又称相关点法）.
　　例3 已知定点a（4，0）和曲线c：x2+y2=4上的动点b，点p分ab之比为2∶1，求动点p的轨迹方程.
　　解析 要求动点p(x,y)的轨迹方程，即要建立关于p的坐标x,y的等量关系，而直接建立x,y的等量关系十分困难，但可以先寻找动点b(x0,y0)的坐标x0,y0之间的关系，再利用已知的p与b之间的关系（即x,y与x0,y0之间关系）得到关于x,y的方程.
　　设动点p为(x,y)，b为（x0,y0）.
　　因为ap=2pb,所以x=4+2x01+2,y=2y01+2,所以x0=3x-42,y0=3y2.
　　又因为点b在曲线c上，所以3x-422+94y2=4,即x-432+y2=169.
　　所以点p的轨迹方程为x-432+y2=169.
　　点评 代入法的主要步骤：
　　（1） 设所求轨迹上的任意一点为p(x,y)，相对应的已知曲线上的点为q(x1,y1);
　　（2） 建立关系式x1=g(x,y),y1=h(x,y)；
　　（3） 将这两上式子代入已知曲线方程中并化简，即得所求轨迹的方程.
　　四、 参数法
　　根据题设条件，用一个参数分别表示出动点(x,y)的坐标x和y，或列出两个含同一个参数的动点(x，y)的坐标x和y之间的关系式，这样就间接地把x和y联系起来了，然后联立这两个等式并消去参数，即可得到动点的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为参数法.
　　例4 已知动点m 在曲线c：13x2+13y2-15x-36y=0上，点n在射线om上，且|om|·|on|=12，求动点n的轨迹方程.
　　解析 点n在射线om上，而在同一条以坐标原点为端点的射线上的任意两点（x1,y1）,(x2,y2)的坐标的关系为x1x2=y1y2=k,k为常数且k＞0,故可采用参数法求点n的轨迹方程.
　　设n为（x,y）,则m为（kx,ky）,k＞0.
　　因为|om|·|on|=12，所以k2(x2+y2)·x2+y2=12，
　　所以k(x2+y2)=12.
　　又点m在曲线c上，所以13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0.
　　由以上两式消去k,得5x+12y-52=0,
　　所以点n的轨迹方程为5x+12y-52=0.
　　点评 用参数法求轨迹方程的步骤为：先引进参数，用此参数分别表示动点的横、纵坐标x,y；再消去参数，得到关于x,y的方程，即为所求的轨迹方程.注意参数的取值范围对动点的坐标x和y的取值范围的影响.
　　另外，求动点的轨迹方程时，还应注意下面几点：
　　（1） 坐标系要建立得适当.这样可以使运算过程简单，所得到的方程也比较简单.
　　（2） 根据动点所要满足的条件列出方程是最重要的一环.要做好这一步，应先认真分析题设条件，综合利用平面几何知识，列出几何关系（等式），再利用解析几何中的一些基本概念、公式、定理等将几何关系（等式）坐标化.
　　（3） 化简所求得的轨迹方程时，如果所做的变形不是该方程的同解变形，那么必须注意在该变形过程中是增加了方程的解，还是减少了方程的解，并在所得的方程中删去或补上相应的点，这时一般不要求写出证明过程.