Question

一道中考数学问题

如图，△ABC中，AC=BC，∠C=120°，O是△ABC三边垂直平分线的交点，P、分别在AC、BC上，∠POQ=60°，若AB=10，求CP+CQ的值.

Answer 1

连接OA、OB、OC
∵O是△ABC三边垂直平分线的交点
∴OA=OC=OB
∵CA=CB
∴△AOC≌△BOC
∵∠ACB=120°
∴∠ACO=∠BCO=60°
∴△AOC和△BOC都是等边三角形
∴∠AOC=60°
∵∠POQ=60°
∴∠AOP=∠COQ
∵∠OAP=∠OCQ=60°
∴△AOP≌△COQ
∴AP=CQ
∴CP+CQ=CP+AP=AC
∵AC=BC=10，∠ACB=120°
易得AC= 10/3√3
∴CP+CQ=10/3√3

Answer 2

P,Q的位置没明确，有图吗？
如果P和Q各边垂直平分线的垂足，那么CP+CQ=AC
AC=AB的一半除以sin60=10除以根号3

如果P和Q不是各边垂直平分线的垂足，那需要图

Answer 3

【答案】10√3/3
【解析】
1、设CO交AB于H，则HB=5，由sinOCP=HB/BC，sin60°=5/BC，√3/2=5/BC，则BC=10√3/3，那么CP=5√3/3
2、POQ=60°，那么COP=30°，由sinCOP=CP/CO，sin30=（5√3/3）/CO，1/2=（5√3/3）/CO，那么CO=10√3/3
3、CP+CO=5√3/3+10√3/3=5√3
4、CP+CQ=2CP=10√3/3

Answer 4

连接OB,OC
我们想CP+CQ一定等于一个线段的长度，我们根据图猜测是BC
那么就要想办法把CP移动到QB上，使其长度相等
那么就要证明△OPC全等于△OQB
因为O是中垂线交点，也就是ABC外接圆的圆心
所以OB=OC
角COB=60°
又因为角POQ=60°
所以角POC=角QOB
且角PCO=角OBQ=60°
所以△OPC全等于△OQB（ASA）
所以PC=QB
所以PC+CQ=CO+QB=BC=10√3/3

Answer 5

连接OA、OB、OC
∵O是△ABC三边垂直平分线的交点
∴OA=OC=OB
∵CA=CB
∴△AOC≌△BOC
∵∠ACB=120°
∴∠ACO=∠BCO=60°
∴△AOC和△BOC都是等边三角形
∴∠AOC=60°
∵∠POQ=60°
∴∠AOP=∠COQ
∵∠OAP=∠OCQ=60°
∴△AOP≌△COQ
∴AP=CQ
∴CP+CQ=CP+AP=AC
∵AC=BC=10，∠ACB=120°
易得AC= 10/3√3
∴CP+CQ=10/3√3

Answer 6

证明：连接OA、OB、OC
∵O是△ABC三边垂直平分线的交点
∴OA=OC=OB
∵CA=CB
∴△AOC≌△BOC
∵∠ACB=120°
∴∠ACO=∠BCO=60°
∴△AOC和△BOC都是等边三角形
∴∠AOC=60°
∵∠POQ=60°
∴∠AOP=∠COQ
∵∠OAP=∠OCQ=60°
∴△AOP≌△COQ
∴AP=CQ
∴CP+CQ=CP+AP=AC
∵AC=BC=10，∠ACB=120°
易得AC= 10/3√3
∴CP+CQ=10/3√3

Answer 7

证明：连接OA、OB、OC
∵O是△ABC三边垂直平分线的交点
∴OA=OC=OB
∵CA=CB
∴△AOC≌△BOC
∵∠ACB=120°
∴∠ACO=∠BCO=60°
∴△AOC和△BOC都是等边三角形
∴∠AOC=60°
∵∠POQ=60°
∴∠AOP=∠COQ
∵∠OAP=∠OCQ=60°
∴△AOP≌△COQ
∴AP=CQ
∴CP+CQ=CP+AP=AC
∵AC=BC=10，∠ACB=120°
易得AC= 10/3√3
∴CP+CQ=10/3√3