Question

高等数学 如图

请问答案中的3怎么来的

Answer 1

观察试探得来的。
根号里第一个6后面比3不大的话，整个根号的值就比√9＝3不大。如果接下来推算发现an≤3不好证明，那就把根号里第一个6后面的进一步放大，比如它明显小于30，整个根号的值就小于√36＝6。如果an≤6还不好证明，那就再放大，直到可以证明为止。
数学里许多东西就是这样不断探索得来的，有时会很耗时、费脑筋，但得到之后会给人带来很大的愉悦。
有关数学证明，顺便多说一句。
对于如何证明an≤3（或an≤6)，数学家的思路首先会考虑反证法。反证法不行时，对于含有自然数n的命题，一定是优先考虑数学归纳法。这道题就是这样。以下是简单证明：
当n＝1时，a1＝√6，显然有a1≤3.
假设n＝k时，ak≤3。则有
a(k+1)＝√(6+ak)≤√(6+3)＝3.即n＝k+1时有a(k+1)≤3.
故根据归纳法原理，对一切自然数n，有an≤3.