Question

　分级的基本理论

Answer 1

一、颗粒的沉降速度

物体在真空中降落时，其速度可按下列人们熟知的公式求得：

v＝gt

但当固体颗粒在流体介质中降落时，由于流体介质产生的阻力，颗粒在最初时以加速度降落，随着速度的增加，阻力也增大，经过一段时间后，当流体阻力与重力达到平衡时，固体颗粒就以不变的速度降落，这个速度称为颗粒的沉降速度或最终速度，以v₀表示。

我们虽然定义颗粒的沉降速度是以颗粒在重力作用下的降落情况作为依据的，但是，颗粒在其它主动力（如惯性离心力、电力、磁力等）作用下，也会出现类似的情况，即当颗粒速度增加到某一数值，流体阻力与主动力达到平衡时，颗粒即以不变的速度运动，这个不变的速度也称为沉降速度。显然，这时速度的方向就不一定垂直向下而是沿着主动力作用的方向。

二、流体介质的阻力

固体颗粒在流体介质中运动时，流体介质的阻力对于球形颗粒可按下列牛顿阻力定律计算：

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式中　S——流体介质的阻力（N）；

A——颗粒在其运动方向上的投影面积（m²），也称颗粒的帆面面积，对于直径为d的球形颗粒，A＝πd²/4；

ρ——流体介质的密度（kg/m³）；

v——颗粒与流体介质之间的相对速度（m/s）；

ζ——阻力系数。

假设作用在颗粒上的主动力为重力，与此同时还有流体介质的浮力。当颗粒的速度达到沉降速度v₀时，阻力与主动力平衡，于是：

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或　

式中，ρ_s为固体颗粒的密度。

其余符号的意义同前。

式（5-2）为沉降速度的基本方程式。由方程式可知，对同一种成分（即ρ_s相同）的固体颗粒，只要其尺寸不同，在流体介质中沉降时，其沉降速度是不同的。利用这个特点可将成分（或密度）相同而尺寸不同的颗粒分开，这就是分级。此外，从方程式还可知道，颗粒尺寸如果相同，但其成分（或密度）不同，那么，其沉降速度也是不同的，也可以将它们分开，这就是分类。

三、阻力系数

用式（5-2）来计算固体颗粒的沉降速度，还有待于阻力系数ζ的确定。从因次分析可知，阻力系数ζ是雷诺数的函数。固体颗粒在流体介质中运动的雷诺数有如下形式

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式中　d——颗粒的直径（m）；

v——颗粒与流体介质之间的相对速度（m/s）；

ρ——流体的密度（kg/m³）；

η——流体的粘度（Pa·s）。

在一般情况下，阻力系数与雷诺数之间的关系由实验测定。根据实验结果得到如图5-1所示的曲线。

图5-1　阻力系数与雷诺数的关系

根据曲线在不同的雷诺数范围内可用公式表示如下：

1.粘性阻力区（斯托克斯定律区）

当Re＜1时（近似地Re＜5.8时），阻力系数

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将这个关系代入式（5-1）可得流体阻力

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式（5-4）即著名的斯托克斯阻力定律的表达式。从式中可知，阻力与流体的粘度η成正比，与速度v的一次方成正比，流体显示出层流流动的特征，流体阻力是由于内摩擦力引起的，属于粘性阻力，因此，这一区域称为粘性阻力区。

将上面关系代入式（5-2）得沉降速度

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2.过渡区（阿伦区）

在30＜Re＜300（近似地5.8＜Re＜500）的范围内，阻力系数

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上式称为阿伦公式

流体阻力

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由上式可知，流体阻力与v^1.5成正比，也与流体的粘度η有关，流体的流动显示出层流与湍流同时存在的特征，属于过渡流。流体阻力由粘性阻力和惯性阻力两部分组成，这一区域称为过渡区。在过渡区，沉降速度

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3.涡流阻力区（牛顿定律区）

在1000＜Re＜5000（近似地500＜Re＜2×10⁵）的范围内，阻力系数为一常数：ζ＝0.44。此为牛顿定律，阻力与速度平方成正比，与流体的粘度无关，流体显示出湍流流动的特征，阻力为惯性阻力，这一区域称为涡流阻力区。

流体阻力

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沉降速度

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四、沉降速度的计算

应用上列公式计算沉降速度，必须事先要知道雷诺数的数值，以确定属于何种阻力，然后，才能决定使用哪个公式进行计算。但实际上雷诺数中就包含了所求的未知数——沉降速度，不可能直接计算，需用试差法求解，这就给计算工作造成了麻烦。

为了简化计算过程，需要用一个不包含沉降速度的准则数来代替雷诺数，作为判明流态的依据。

将式（5-2）两边平方后移项得

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以

代入上式并整理后得

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式中右端为一不包含沉降速度的无因次数群，令

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Ar称为阿基米德数，从而有

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由上式可知，Ar为Re的函数，因此可用Ar的数值来判断流态。Ar就是用来代替雷诺数的一个能够计算的准则数。

下面计算在各阻力区中，Ar的临界值。

在粘性阻力区中，Re的临界值为1，阻力系数

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故Ar的临界值

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即Ar＜18时，颗粒沉降时流体介质的阻力属于粘性阻力。

在过渡区，Re的临界值为500，阻力系数

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Ar的临界值

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即18＜Ar＜8.4×10⁴为过渡区。那么，Ar＞8.4×10⁴时，就是涡流区。

借助于阿基米德数Ar，沉降速度的计算就比较简单了。计算的步骤是：

1.将有关的数据代入式（5-11），计算出阿基米德数。

2.根据阿基米德数的大小，判别流体阻力属于哪一个阻力区，并计算相应的雷诺数。

当Ar＜18时

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当18＜Ar＜8.4×10⁴时

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当Ar＞8.4×104时

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3.最后用下式计算沉降速度

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也可以在判别阻力属于哪一个阻力区后，用相应的沉降速度计算公式，即式（5-5）、式（5-8）或式（5-10）直接计算沉降速度。

五、沉降速度的其它影响因素

用上述各式计算的是单个颗粒的自由沉降，实际颗粒的沉降尚须考虑下列各因素的影响：

1.分子运动

当颗粒直径小到与流体分子的平均自由程相比时，颗粒可穿过快速运动的流体分子之间，沉降速度可大于按斯托克斯定律计算的值，故已不符合上述规律。另一方面，对于颗粒直径小于0.5μm的颗粒，沉降将受到流体分子热运动的影响。在这种情况下，流体已不能当作连续介质，上述关于颗粒受阻力的讨论的前提已不再成立。所以颗粒的直径不能小于1μm。

2.非球形颗粒

对于非球形颗粒，其尺寸的大小是以与其体积相等的球形颗粒的直径表示，称为相当直径。非球形颗粒的相当直径

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式中　d_e——颗粒的相当直径（m）；

m——颗粒的质量（kg）；

ρ_s——颗粒的密度（kg/m³）。

实验表明，非球形颗粒与相当直径的球形颗粒比较，除了在粘性阻力区外，一般情况下流体介质的阻力都比较大，沉降速度比较小。因此，按球形颗粒计算的沉降速度乘以一个小于1的校正系数，才是非球形颗粒的沉降速度

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式中　v′₀——非球形颗粒的沉降速度；

R——形状校正系数，其大小与颗粒的形状及阿基米德数的大小有关，由表5-1查出。

表5-1　形状校正系数R与Ar的关系

在粘性阻力区，沉降速度与颗粒形状无关，即k＝1。

3.悬浮体浓度较大时

前面在推导沉降速度的计算公式时，无论在哪一个阻力区，都是考虑单个颗粒在无限大的流体介质中沉降的，在沉降过程中既不受附近颗粒的影响，也不受器壁的影响，这种沉降称为自由沉降。可是，当悬浮体的浓度较高时，每一个颗粒在沉降过程中一定受到附近其他颗粒的干扰，因而影响其沉降速度，这种沉降称为干扰沉降。在实际生产过程中，一般悬浮体的浓度是比较高的，实际的沉降多属于干扰沉降。不过，当悬浮体的浓度不太大时（＜3%），按自由沉降计算造成的误差是不大的，可是当悬浮体的浓度较大时，一定要按干扰沉降来计算。

对于浓度较高的悬浮体，根据实验数据的整理，沉降速度与悬浮体的空隙率有关。悬浮体的空隙率

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式中　ε——悬浮体的空隙率；

V——悬浮体的体积；

V_s——悬浮体中固体颗粒的体积。

干扰沉降速度

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式中　v₀——自由沉降的沉降速度；

n——指数，与雷诺数有关，由实验测定。

根据实验结果，n与雷诺数之间有如下的关系：

Re＜0.2时，n＝4.65；

Re＝0.2～1.0时，n＝4.36Re^-0.03；

Re＝1～500时，n＝4.45Re^-0.1；

Re＝500～7000时，n＝2.36。

六、在重力作用下，固体颗粒在流体介质中的运动

1.颗粒在静止的流体介质中的运动

如前所述，在重力作用下，固体颗粒在静止流体介质中沉降时，最初是加速降落的，随着速度的增加，流体的阻力也随之增大，直至阻力与重力（包括流体的浮力）达到平衡后，颗粒才以不变的速度降落。由此可建立颗粒运动的微分方程式

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式中　m——颗粒的质量（kg）；

v——颗粒降落的速度（m/s）；

ρ_s，ρ——分别为颗粒和流体的密度（kg/m³）；

g——重力加速度（m/s²）；

S——流体阻力（N）；

t——时间（s）。

为了使推证简单起见，假设作用于颗粒上的流体阻力为粘性阻力，即

S＝3πηdv

颗粒的质量

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以上面两式代入式（5-21），根据初始条件t＝0时v＝0以及式（5-5）的关系，对微分方程式（5-21）积分后可得速度方程式

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由上式可知，在有限的时间内，颗粒始终作变速运动，只有当时间无限增大时，颗粒的速度才趋近于沉降速度，不过在流体力学分级操作中处理的固体颗粒的尺寸都是很小的，对于这些细小的固体颗粒，实际上随着时间的稍许增大，因子

很快减少而趋近于零。也就是说，只要经过一段极短的时间后，颗粒的降落速度就十分接近于沉降速度。例如，计算表明，直径50μm的球形石英颗粒在常温的空气中降落，当t＝0.14秒时，其速度v＝0.999v₀。因此，在流体力学分级操作中，通常认为颗粒从开始就是以沉降速度作匀速运动，而忽略颗粒的变速运动阶段。

2.颗粒在垂直上升的流体介质中的运动

如果流体介质以速度u垂直向上流动，根据速度合成原理，颗粒的绝对速度

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由上式可知，当u＜v₀时，u＜0，颗粒向下沉降；当u＞v₀时，u＞0，颗粒向上运动；当u＝v₀时，v＝0，颗粒既不向上运动也不向下沉降，而在空间停留不动，这时流体的速度称为该种颗粒的悬浮速度。显然，悬浮速度在数值上等于颗粒在静止流体中的沉降速度。

3.颗粒在水平流动的流体介质中的运动

如果流体介质以速度u_i沿水平方向流动，那么，颗粒的绝对速度应等于流体速度与颗粒沉降速度的矢量和。