Question

设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1＝1/3，且S1，2S2,3S3,成等差数列。（1）求

设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1＝1/3，且S1，2S2,3S3,成等差数列。（1）求an。（2）设bn＝n/an，求数列｛bn｝的前n项和Tn.谢谢啦

Answer 1

解：
（1）
根据题意，设数列{an}的公比为q，其中q≠0，则：
S1=a1=1/3
S2=a1+a1q=(1/3)(1+q)
S3=a1+a1q+a1q²=(1/3)(1+q+q²)
又因为：S1，2S2,3S3,成等差数列，因此：

4S2=S1+3S3
即：
(4/3)(1+q) = (1/3)+(1+q+q²)
(1/3)q = q²，
q≠0，则：
q=1/3
因此：
an = (1/3)^(n)
(2)
bn = n/[(1/3)^(n)] = n·[3^(n)]
因此：
Tn = 1×3 + 2×3² + 3× 3³+.......+ (n-1)·[3^(n-1)] + n·[3^(n)]
3Tn= 1×3² + 2× 3³+.......+ (n-2)·[3^(n-1)] + (n-1)·[3^(n)] + n·[3^(n+1)]
两式相减：
-2Tn = 1×3 +[3²+3³+.......+3^(n-1)+3^(n)] - n·[3^(n+1)]
= [(3/2)-3n]·(3^n) - (3/2)
因此：
Tn = [(3n)/2 - (3/4)]·(3^n) - (3/4)