Question

二元函数在有界闭区域D上连续，是二重积分存在的充分条件还是必要条件还是充要条件？

Answer 1

连续是充分条件，有界是必要条件！
这个用二元函数的达布定理可以证明。
达布定理：
达布定理的定义：
设函数f(x)在[a,b]区间上可导，虽然导函数未必连续，但是却具有“介值性”。
简单说：若f'+(a)>0,f'-(b)<0,则在(a,b)内至少有一点c,使得f'(c)=0.
我们称这个命题为“达布定理”。这是导函数的一个重要特点。其证明如下：
由于
f'+(a)>0，知
lim[f(x)-f(a)]/(x-a)>0,
根据极限的保号性，在a的右邻域内f(x)>f(a).
这说明f(a)不是最大值。
同理，f(b)也不是最大值。
f
的最大值只能在(a,b)内部某一点
c
处取得，c
必为极大值点，根据费马定理，f'(c)=0.
达布定理证明：
做辅助函数
g(x)=f(x)-rx
在[a,b]连续
由闭区间连续函数存在最大最小值
则存在c∈[a,b]有g(c)是最值
由费马定理
g'(c)=0
即
f'(c)=r
二元函数介绍：
定义
设平面点集D包含于R^2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数.
且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作z=f(x,y);全体函数值的集合称为f的值域.
一般来说,二元函数是空间的曲面,如双曲抛物面(马鞍形)z=xy.
主要性质
1.
连续性
2.
f为定义在点集D上的二元函数.P0为D中的一点.对于任意给定的正数ε,总存在相应的正数δ,只要P在P0的δ临域和D的交集内,就有|f(P0)-f(P)|<ε,则称f关于集合D在点P0出连续.
3.
若f在D上任何点都连续,则称f是D上的连续函数.
4.
2.一致连续性
5.
与连续性的定义相似
6.
对于任意给定的ε>0,存在某一个正数δ,对于D上任意一点P0,只要P在P0的δ邻域与D的交集内,就有|f(P0)-f(P)|<ε,则称f关于集合D一致连续.
7.
一致连续比连续的条件要苛刻很多.
8.
3.可微性
9.
1.定义
10.
设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:
11.
△z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ),其中A,B是仅与P0有关的常数,ρ=((△x)^2+(△y)^2)^0.5.o(ρ)是较ρ高阶无穷小量,即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零.则称f在P0点可微.
12.
2.几何意义
13.
可微的充要条件是曲面z=f(x,y)在点P(x0,y0,f(x0,y0))存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0(x0,y0)可微.
14.
这个切面的方程应为Z-z0=A(X-x0)+B(Y-y0)
15.
A,B的意义如定义所示