Question

曲线积分、曲面积分的题：计算圆柱面x^2+y^2=R^2界于xOy平面及柱面z=R+x^2/R之间的一块面积

计算圆柱面x^2+y^2=R^2界于xOy平面及柱面z=R+x^2/R之间的一块面积

Answer 1

综述：

找个始终垂直于圆柱面x^2+y^2=R^2且强度为1的场源E=(x/(x^2+y^2) ,y/√(x^2+y^2),0)，求通所截圆柱面通量通量=∫∫E*ds=1∫∫ds=S。

通量即面积柱面∑1： x^2+y^2=R^2xOy平面∑2及柱面∑3：z=R+x^2/R所围曲面∑∫∫∑(Eds)=∫∫(x/√(x^2+y^2))dydz+y/(x^2+y^2)dzdx+0dxdy(高斯公式）=∫∫∫(1/√(x^2+y^2))dxdydz=∫∫∫drdθdz=∫(0->2π)dθ∫(0->R)dr∫(0>R+r^2(cosθ)^2/R)dz=7πR^2/3。

∫∫∑1+∑2+∑3  (Eds)=∫∫∑ (Eds)=7πR^2/3，且易∫∫∑2 (Eds)=0，面求∫∫∑3  (Eds)。

由于∑3xoz面投影面积0所dxdz=0，所∫∫∑3  (Eds)=∫∫(x/(x^2+y^2))dydz =∫∫[(x/√(x^2+y^2))*(-2x/R)]dxdy=(-2/R)∫∫(rcosθ)^2drdθ=-2πR^2/3，所∫∫∑1  (Eds)=∫∫∑ (Eds)-∫∫∑2  (Eds)-∫∫∑3  (Eds)=(7πR^2/3)-(-2πR^2/3)=3πR^2。

也可以这样做的，如果把所求曲面侧面展开的话，可以看做一个以圆x^2+y^2=R^2为底边，以z=R+x^2/R为高的曲边梯形。

根据微积分，底边l的微元dl=√(1+(y')^2)dx=R/√(R^2-x^2) dx，所求面积S=∫hdl=∫zdl=(R+x^2/R)*[R/√(R^2-x^2)]dx，根据对称性S=4∫(0->R) (R+x^2/R)*[R/√(R^2-x^2)]dx=3πR^2。

Answer 2

直接算的话，有些困难，可以这样弄，
找一个始终垂直于圆柱面x^2+y^2=R^2且强度为1的
场源E=(x/√(x^2+y^2) ,y/√(x^2+y^2),0)
然后求出他们通过所截圆柱面的通量，因为通量=∫∫E*ds=1∫∫ds=S
所以 通量即为面积

在柱面∑1： x^2+y^2=R^2，xOy平面∑2，及柱面∑3：z=R+x^2/R所围成曲面∑，
∫∫∑ (Eds)=∫∫(x/√(x^2+y^2))dydz+y/√(x^2+y^2)dzdx+0dxdy
(高斯公式）
=∫∫∫(1/√(x^2+y^2))dxdydz
=∫∫∫drdθdz
=∫(0->2π)dθ∫(0->R)dr∫(0->R+r^2(cosθ)^2/R)dz
=7πR^2/3

因为∫∫∑1+∑2+∑3 (Eds)=∫∫∑ (Eds)=7πR^2/3
且易得，∫∫∑2 (Eds)=0
下面求∫∫∑3 (Eds)
由于∑3在xoz面的投影面积为0，所以dxdz=0
所以∫∫∑3 (Eds)=∫∫(x/√(x^2+y^2))dydz =∫∫[(x/√(x^2+y^2))*(-2x/R)]dxdy
=(-2/R)∫∫(rcosθ)^2drdθ
=-2πR^2/3

所以∫∫∑1 (Eds)=∫∫∑ (Eds)-∫∫∑2 (Eds)-∫∫∑3 (Eds)=(7πR^2/3)-(-2πR^2/3)
=3πR^2

所求曲面的面积为S=3πR^2

思路清晰的话，差不多都是圆域积分，用极坐标做，计算量不大

追问

高斯公式我们没学过啊 还有场源又是什么 大神有没有简单点这节的方法啊

追答

我再想想，应该有简单的方法的。。。

也可以这样做的，如果把所求曲面侧面展开的话，可以看做一个以圆x^2+y^2=R^2为底边，以z=R+x^2/R为高的曲边梯形。根据微积分，底边l的微元dl=√(1+(y')^2)dx=R/√(R^2-x^2) dx

所求面积S=∫hdl=∫zdl=∫(R+x^2/R)*[R/√(R^2-x^2)]dx
根据对称性S=4∫(0->R) (R+x^2/R)*[R/√(R^2-x^2)]dx=3πR^2

追问

~\(≧▽≦)/~耶 这次的作业终于要做完了感谢！！！！

追答

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