Question

如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论。

Answer 1

CE= GE，且BG^2=CE^2+GE^2，证明如下：
因为BE平分角ABC且BE垂直于AE，易证ABC是等腰三角形，BA=BC
因为CD垂直于AB且角ABC=45，所以三角形DBC是等腰直角三角形
又H是三角形DBC斜边BC的中点，所以DH是BC的垂直平分线，易证BG=CG
考察直角三角形BAE和CAD，因为角A是公共角，所以角ABE=角ACD
因此，角ACG=角ACD+角DCG=角ABE+角DCG=角CBE+角DCG=角BCG+DCG=角BCD=45度
所以直角三角形CEG是等腰直角三角形，有CE=GE，而CG是斜边，满足CG^2=CE^2+GE^2
所以BG^2=CE^2+GE^2，这就是CE、GE和BG三者之间的数量关系。